這個計算機的功能
本工具可計算第一類修正貝索函數 \(I_v(x)\) 與第二類修正貝索函數 \(K_v(x)\)，並同時給出它們的一階導數 \(I'_v(x)\) 與 \(K'_v(x)\)。這兩個函數是修正貝索方程式 $$x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2)y = 0$$ 的兩個獨立解，在物理與工程領域隨處可見：圓柱體的熱傳導、擴散問題、傳輸線與波導理論，乃至統計學都會用到。由於這是純數學運算，無論在世界何處結果都相同，不受任何地區規則影響。
使用方法
輸入階數 v（任意實數）與引數 x。當 v 為整數時，\(I_v(x)\) 對所有實數 x 都可計算；否則僅適用於 \(x \geq 0\)。\(K_v(x)\) 則要求 \(x > 0\)，因為當 \(x \to 0^+\) 時函數會發散；若 \(x \leq 0\)，結果會顯示為未定義（NaN）。
公式解析
\(I_v(x)\) 是透過其冪級數求和而得，其中 Gamma 函數採用 Lanczos 近似法計算。$$I_v(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\,\Gamma(k + v + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k + v}$$\(K_v(x)\) 則以數值積分 $$K_v(x) = \int_0^{\infty} e^{-x\cdot\cosh t}\cdot\cosh(vt)\, dt$$ 求出，此方法對整數與非整數階數都相當穩定。導數部分使用對稱遞迴關係式 $$I'_v(x) = \tfrac{1}{2}\left(I_{v-1}(x) + I_{v+1}(x)\right)$$ 與 $$K'_v(x) = -\tfrac{1}{2}\left(K_{v-1}(x) + K_{v+1}(x)\right)$$，可避免任何除以 x 的運算。
範例計算（v = 0、x = 1）
由級數可得 \(I_0(1) = 1 + 0.25 + 0.015625 + \ldots \approx 1.26606588\)；由積分可得 \(K_0(1) \approx 0.42102444\)。由於 \(I_{-1} = I_1\)，對稱式給出 \(I'_0(1) = I_1(1) \approx 0.56515910\)，而 \(K'_0(1) = -K_1(1) \approx -0.60190723\)。
常見問題
為什麼 K_v(x) 顯示為未定義？\(K_v(x)\) 只在 \(x > 0\) 時有定義；當 x 等於或小於零時函數會發散。
可以使用分數階數嗎？可以。這兩個函數都接受任意實數階數，包括非整數與負數。
計算結果有多精確？結果採用雙精度運算（約 12～15 位有效數字），在中等大小的 x 範圍內與標準參考表完全吻合。
