この計算機でできること
第一種変形ベッセル関数 \(I_{\text{v}}(x)\) と第二種変形ベッセル関数 \(K_{\text{v}}(x)\)、さらにそれらの一階導関数 \(I'_{\text{v}}(x)\)・\(K'_{\text{v}}(x)\) を計算します。これらは変形ベッセル方程式 \(x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2)y = 0\) の2つの独立な解で、物理学・工学の幅広い分野に現れます。たとえば円柱内の熱伝導、拡散現象、伝送線路や導波管の理論、統計学などです。これは純粋な数学であり、結果は世界中どこでも同じで、地域ごとの規則は一切関係しません。
使い方
次数 v（任意の実数）と引数 x を入力します。\(I_{\text{v}}(x)\) は、v が整数のときはすべての実数 x について、それ以外のときは \(x \geq 0\) について計算されます。\(K_{\text{v}}(x)\) は \(x \to 0^+\) で発散するため \(x > 0\) が必要で、\(x \leq 0\) では定義なし（NaN）と表示されます。
計算式の解説
\(I_{\text{v}}(x)\) はそのべき級数を和として求め、ガンマ関数には Lanczos 近似を用います。$$I_{\text{v}}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\,\Gamma(k + \text{v} + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k + \text{v}}$$ \(K_{\text{v}}(x)\) は積分表示 $$K_{\text{v}}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x\cosh t}\cosh(vt)\, dt$$ を数値積分して求めており、これは整数次・非整数次のいずれでも安定して計算できます。導関数には対称な漸化式 $$I'_{\text{v}}(x) = \tfrac{1}{2}\left(I_{\text{v}-1}(x) + I_{\text{v}+1}(x)\right)$$ と $$K'_{\text{v}}(x) = -\tfrac{1}{2}\left(K_{\text{v}-1}(x) + K_{\text{v}+1}(x)\right)$$ を使い、x による除算を避けています。
計算例（v = 0, x = 1）
級数から \(I_0(1) = 1 + 0.25 + 0.015625 + \ldots \approx 1.26606588\) となります。積分から \(K_0(1) \approx 0.42102444\) が得られます。\(I_{-1} = I_1\) なので、対称形により \(I'_0(1) = I_1(1) \approx 0.56515910\)、\(K'_0(1) = -K_1(1) \approx -0.60190723\) となります。
よくある質問
K_v(x) が「定義なし」と表示されるのはなぜですか？ \(K_{\text{v}}(x)\) は \(x > 0\) でのみ定義されます。x が 0 以下では発散してしまうためです。
次数に分数を指定できますか？ はい。どちらの関数も、非整数や負の値を含む任意の実数の次数を受け付けます。
精度はどのくらいですか？ 計算は倍精度（有効数字およそ12〜15桁）で行われ、x が中程度の範囲では標準的な数表の値とよく一致します。
