Máy Tính Hàm Bessel Biến Đổi

Nhập phép tính

Bậc v

x (đối số)

Kết quả

Hàm Bessel biến đổi loại một I_v(x)

1,2660658778

không thứ nguyên

K_v(x) — loại hai	0,4210244382
I'_v(x) — đạo hàm của I	0,565159104
K'_v(x) — đạo hàm của K	-0,6019072302

Công cụ này làm gì

Công cụ này tính hàm Bessel biến đổi loại một I_v(x) và loại hai K_v(x), cùng với các đạo hàm cấp một I'_v(x) và K'_v(x). Đây là hai nghiệm độc lập của phương trình Bessel biến đổi \(x^{2}y'' + x y' - (x^{2} + v^{2})y = 0\). Chúng xuất hiện ở khắp nơi trong vật lý và kỹ thuật: dẫn nhiệt trong hình trụ, khuếch tán, lý thuyết đường truyền và ống dẫn sóng, cũng như thống kê. Đây là toán học thuần túy, nên kết quả giống nhau ở mọi nơi — không có quy tắc vùng miền nào áp dụng.

I_v(x) tăng theo cấp số mũ trong khi K_v(x) giảm dần về không khi x tăng.

Cách sử dụng

Nhập bậc v (số thực bất kỳ) và đối số x. I_v(x) được tính cho mọi x thực khi v là số nguyên, và cho x ≥ 0 trong các trường hợp còn lại. K_v(x) yêu cầu x > 0 vì hàm này phân kỳ khi x → 0+; với x ≤ 0, kết quả sẽ báo là không xác định (NaN).

Giải thích công thức

I_v(x) được tính bằng tổng chuỗi lũy thừa, sử dụng xấp xỉ Lanczos cho hàm Gamma.

$$I_{\text{v}}(\text{x}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\,\Gamma(k + \text{v} + 1)} \left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{2k + \text{v}}$$

K_v(x) được tìm bằng cách tích phân số biểu thức \(K_{\text{v}}(\text{x}) = \int_{0}^{\infty} e^{-\text{x}\cdot\cosh t}\cdot\cosh(\text{v}t)\, dt\), vốn ổn định cho cả bậc nguyên lẫn không nguyên. Các đạo hàm dùng hệ thức truy hồi đối xứng \(I'_{\text{v}}(\text{x}) = \tfrac{1}{2}(I_{\text{v}-1}(\text{x}) + I_{\text{v}+1}(\text{x}))\) và \(K'_{\text{v}}(\text{x}) = -\tfrac{1}{2}(K_{\text{v}-1}(\text{x}) + K_{\text{v}+1}(\text{x}))\), nhờ đó tránh được mọi phép chia cho x.

Mỗi số hạng trong chuỗi đóng góp một phần nhỏ hơn, hội tụ về I_v(x).

Ví dụ minh họa (v = 0, x = 1)

Chuỗi cho ta $$I_{0}(1) = 1 + 0{,}25 + 0{,}015625 + \dots \approx 1{,}26606588.$$ Tích phân cho \(K_{0}(1) \approx 0{,}42102444\). Vì \(I_{-1} = I_{1}\), dạng đối xứng cho \(I'_{0}(1) = I_{1}(1) \approx 0{,}56515910\) và \(K'_{0}(1) = -K_{1}(1) \approx -0{,}60190723\).

Câu hỏi thường gặp

Tại sao K_v(x) hiển thị là không xác định? K_v(x) chỉ xác định khi x > 0; tại 0 và nhỏ hơn 0 thì hàm phân kỳ.

Tôi có thể dùng bậc phân số không? Có. Cả hai hàm đều chấp nhận mọi bậc thực, kể cả giá trị không nguyên và âm.

Độ chính xác ra sao? Kết quả dùng độ chính xác kép (khoảng 12–15 chữ số có nghĩa) và khớp với các bảng tham chiếu chuẩn ở những giá trị x vừa phải.