ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة دوال بيسل المعدّلة من النوع الأول \(I_v(x)\) ومن النوع الثاني \(K_v(x)\)، إلى جانب مشتقاتها الأولى \(I'_v(x)\) و\(K'_v(x)\). وتمثّل هاتان الدالتان الحلّين المستقلّين لمعادلة بيسل المعدّلة: $$x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2)y = 0.$$ وتظهر هذه الدوال في كثير من فروع الفيزياء والهندسة، مثل انتقال الحرارة في الأسطوانات، والانتشار، ونظرية خطوط النقل والأدلة الموجية، والإحصاء. وبما أنها رياضيات بحتة، فإن النتيجة واحدة في كل مكان ولا تخضع لأي قواعد إقليمية.
كيفية الاستخدام
أدخل الرتبة v (أي عدد حقيقي) والوسيط x. تُحسب \(I_v(x)\) لجميع قيم x الحقيقية عندما تكون v عددًا صحيحًا، ولقيم x ≥ 0 في غير ذلك. أما \(K_v(x)\) فتتطلب أن يكون x > 0 لأنها تتباعد عندما يقترب x من الصفر من جهة الموجب؛ وعند x ≤ 0 تظهر النتيجة على أنها غير معرّفة (NaN).
شرح الصيغة
تُجمع قيمة \(I_v(x)\) من متسلسلتها القوّية مع استخدام تقريب لانكزوس لدالة غاما:
$$I_v(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\,\Gamma(k + v + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k + v}$$أما \(K_v(x)\) فتُحسب بالتكامل العددي للعلاقة $$K_v(x) = \int_0^{\infty} e^{-x\cdot\cosh t}\cdot\cosh(vt)\, dt,$$ وهي طريقة مستقرة للرتب الصحيحة وغير الصحيحة على حدّ سواء. وتعتمد المشتقات على علاقات التكرار المتماثلة $$I'_v(x) = \tfrac{1}{2}\left(I_{v-1}(x) + I_{v+1}(x)\right)$$ و$$K'_v(x) = -\tfrac{1}{2}\left(K_{v-1}(x) + K_{v+1}(x)\right),$$ وهي تتجنّب أي قسمة على x.
مثال محلول (v = 0، x = 1)
تعطي المتسلسلة \(I_0(1) = 1 + 0.25 + 0.015625 + \ldots \approx 1.26606588\). ويعطي التكامل \(K_0(1) \approx 0.42102444\). وبما أن \(I_{-1} = I_1\)، تعطي الصيغة المتماثلة \(I'_0(1) = I_1(1) \approx 0.56515910\)، و\(K'_0(1) = -K_1(1) \approx -0.60190723\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر \(K_v(x)\) على أنها غير معرّفة؟ دالة \(K_v(x)\) معرّفة فقط عندما يكون x > 0؛ أما عند الصفر أو أقل منه فإنها تتباعد.
هل يمكنني استخدام رتبة كسرية؟ نعم. تقبل كلتا الدالتين أي رتبة حقيقية، بما في ذلك القيم غير الصحيحة والسالبة.
ما مدى دقة الحاسبة؟ تستخدم النتائج الدقة المزدوجة (نحو 12 إلى 15 رقمًا معنويًّا) وتتطابق مع الجداول المرجعية القياسية لقيم x المعتدلة.
