Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет модифицированные функции Бесселя первого рода \(I_v(x)\) и второго рода \(K_v(x)\), а вместе с ними и их первые производные \(I'_v(x)\) и \(K'_v(x)\). Эти функции являются двумя независимыми решениями модифицированного уравнения Бесселя \(x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2)y = 0\). Они встречаются повсюду в физике и технике: при описании теплопроводности в цилиндрах, диффузии, в теории линий передачи и волноводов, а также в статистике. Это чистая математика, поэтому результат одинаков в любой точке мира — никакие региональные правила здесь не действуют.
Как пользоваться
Введите порядок v (любое вещественное число) и аргумент x. \(I_v(x)\) вычисляется для всех вещественных \(x\), если \(v\) — целое число, и для \(x \geq 0\) в остальных случаях. Для \(K_v(x)\) требуется \(x > 0\), так как функция расходится при \(x \to 0^+\); при \(x \leq 0\) результат помечается как неопределённый (NaN).
Разбор формулы
\(I_v(x)\) вычисляется суммированием степенного ряда, при этом для гамма-функции используется аппроксимация Ланцоша.
$$I_{\text{v}}(\text{x}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\,\Gamma(k + \text{v} + 1)} \left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{2k + \text{v}}$$Значение \(K_v(x)\) находится численным интегрированием выражения $$K_{\text{v}}(\text{x}) = \int_0^{\infty} e^{-\text{x}\cdot\cosh t}\cdot\cosh(\text{v}t)\, dt$$ — этот метод устойчив как для целого, так и для нецелого порядка. Производные опираются на симметричные рекуррентные соотношения \(I'_v(x) = \tfrac{1}{2}(I_{v-1}(x) + I_{v+1}(x))\) и \(K'_v(x) = -\tfrac{1}{2}(K_{v-1}(x) + K_{v+1}(x))\), которые позволяют избежать деления на \(x\).
Пример расчёта (v = 0, x = 1)
Ряд даёт $$I_0(1) = 1 + 0{,}25 + 0{,}015625 + \dots \approx 1{,}26606588$$ Интеграл даёт \(K_0(1) \approx 0{,}42102444\). Поскольку \(I_{-1} = I_1\), из симметричной формулы получаем \(I'_0(1) = I_1(1) \approx 0{,}56515910\), а \(K'_0(1) = -K_1(1) \approx -0{,}60190723\).
Частые вопросы
Почему K_v(x) показывается как неопределённое значение? Функция \(K_v(x)\) определена только при \(x > 0\); в нуле и ниже она расходится.
Можно ли задать дробный порядок? Да. Обе функции принимают любой вещественный порядок, включая нецелые и отрицательные значения.
Насколько точны результаты? Вычисления выполняются с двойной точностью (около 12–15 значащих цифр) и совпадают со стандартными справочными таблицами при умеренных значениях \(x\).
