변형 베셀 함수 계산기

계산 입력

차수 v

x (인수)

결과

제1종 변형 베셀 함수 I_v(x)

1.2660658778

무차원

K_v(x) — 제2종	0.4210244382
I'_v(x) — I의 도함수	0.565159104
K'_v(x) — K의 도함수	-0.6019072302

이 계산기의 기능

이 도구는 제1종 변형 베셀 함수 \(I_v(x)\)와 제2종 변형 베셀 함수 \(K_v(x)\), 그리고 이들의 1차 도함수 \(I'_v(x)\)와 \(K'_v(x)\)를 계산합니다. 두 함수는 변형 베셀 방정식 \(x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2)y = 0\)의 서로 독립적인 두 해입니다. 원통에서의 열전도, 확산, 전송선·도파관 이론, 통계학 등 물리학과 공학 전반에 걸쳐 등장합니다. 순수 수학이므로 결과는 어디서나 동일하며, 지역별 규칙은 적용되지 않습니다.

x가 증가하면 \(I_v(x)\)는 지수적으로 증가하고 \(K_v(x)\)는 0으로 감소합니다.

사용 방법

차수 v(임의의 실수)와 인수 x를 입력하세요. \(I_v(x)\)는 v가 정수일 때 모든 실수 x에 대해 계산되며, 그 외의 경우에는 \(x \ge 0\)에서 계산됩니다. \(K_v(x)\)는 \(x \to 0^+\)에서 발산하기 때문에 \(x > 0\)이어야 하며, \(x \le 0\)인 경우에는 정의되지 않음(NaN)으로 표시됩니다.

공식 설명

\(I_v(x)\)는 거듭제곱 급수로부터 합산하며, 감마 함수에는 란초스(Lanczos) 근사를 사용합니다.

$$I_v(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\,\Gamma(k + v + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k + v}$$

\(K_v(x)\)는 $$K_v(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x\cdot\cosh t}\cdot\cosh(vt)\,dt$$를 수치 적분하여 구하는데, 이 방법은 정수 차수와 비정수 차수 모두에서 안정적입니다. 도함수는 대칭 점화식 $$I'_v(x) = \tfrac{1}{2}\left(I_{v-1}(x) + I_{v+1}(x)\right)$$와 $$K'_v(x) = -\tfrac{1}{2}\left(K_{v-1}(x) + K_{v+1}(x)\right)$$를 사용하므로 x로 나누는 연산을 피할 수 있습니다.

급수의 각 항은 점점 작은 기여를 더하며 \(I_v(x)\)로 수렴합니다.

계산 예시 (v = 0, x = 1)

급수로부터 $$I_0(1) = 1 + 0.25 + 0.015625 + \ldots \approx 1.26606588$$을 얻습니다. 적분으로는 \(K_0(1) \approx 0.42102444\)를 얻습니다. \(I_{-1} = I_1\)이므로 대칭 형태에서 \(I'_0(1) = I_1(1) \approx 0.56515910\), \(K'_0(1) = -K_1(1) \approx -0.60190723\)이 됩니다.

자주 묻는 질문

\(K_v(x)\)가 왜 정의되지 않음으로 표시되나요? \(K_v(x)\)는 \(x > 0\)에서만 정의됩니다. 0 이하에서는 발산하기 때문입니다.

분수 차수를 사용할 수 있나요? 네. 두 함수 모두 비정수와 음수를 포함한 임의의 실수 차수를 받습니다.

정확도는 어느 정도인가요? 결과는 배정밀도(유효숫자 약 12~15자리)를 사용하며, 적당한 범위의 x에 대해 표준 참조표와 일치합니다.