제1종 구면 베셀 함수 jᵥ(x) 계산기

계산 입력

Order ν (nu)

x의 초기값

x의 증가량(스텝)

반복 횟수(행 수)

결과

Spherical Bessel function jν(x), first value

1

51 rows generated up to x = 10

x	jν(x)
0	1
0.2	0.99334665
0.4	0.97354586
0.6	0.94107079
0.8	0.89669511
1	0.84147098
1.2	0.77669924
1.4	0.70389266
1.6	0.6247335
1.8	0.54102646
2	0.45464871
2.2	0.36749837
2.4	0.28144299
2.6	0.19826976
2.8	0.11963863
3	0.04704
3.2	-0.01824192
3.4	-0.07515915
3.6	-0.12292235
3.8	-0.16101523
4	-0.18920062
4.2	-0.20751804
4.4	-0.2162732
4.6	-0.21601978
4.8	-0.20753429
5	-0.19178485
5.2	-0.16989513
5.4	-0.14310453
5.6	-0.11272619
5.8	-0.08010382
6	-0.04656925
6.2	-0.01340152
6.4	0.01821081
6.6	0.04720324
6.8	0.07266373
7	0.09385523
7.2	0.11023165
7.4	0.12144704
7.6	0.12735785
7.8	0.12801838
8	0.12366978
8.2	0.11472324
8.4	0.10173797
8.6	0.08539501
8.8	0.06646786
9	0.04579094
9.2	0.02422716
9.4	0.00263568
9.6	-0.01815904
9.8	-0.03739583
10	-0.05440211

이 계산기의 기능

이 도구는 제1종 구면 베셀 함수 \(j_{\nu}(x)\)의 값을 일련의 x 값에 대해 표로 정리해 줍니다. 차수 \(\nu\), 시작 x 값, 증가량(스텝), 생성할 행 수를 입력하면 \((x, j_{\nu}(x))\) 쌍으로 이루어진 두 열짜리 표를 돌려줍니다. 순수한 수학 계산이므로 어느 나라에서나 동일하게 적용되며, 국가나 단위에 대한 가정은 전혀 들어가지 않습니다.

구면 베셀 함수 \(j_{\nu}(x)\)는 x가 커질수록 진동하며 감쇠합니다.

사용 방법

차수 \(\nu\)(0, 1, 2처럼 정수든 1.5 같은 실수든 어떤 실수 값이든 가능합니다), x의 초기값, 각 행마다 x에 더해지는 증가량, 그리고 행 수를 입력하세요. 각 행 \(k\)의 x는 $$x_k = \text{초기값} + k\cdot\text{증가량}$$ 으로 계산됩니다. 맨 위에 크게 표시되는 대표 숫자는 첫 번째 x에서의 \(j_{\nu}\) 값이며, 표에는 생성된 모든 값이 나열됩니다.

공식 풀이

일반적인 실수 차수의 경우 $$j_{\nu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; J_{\nu+\frac{1}{2}}(x)$$ 로 계산합니다. 여기서 \(J\)는 보통의 제1종 베셀 함수로, 거듭제곱 급수와 Lanczos 감마 함수를 통해 계산됩니다. 정수 차수에서는 수치적으로 안정적인 닫힌 형태인 \(j_0(x) = \sin(x)/x\) 와 \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\) 를 사용한 뒤, 상향 점화식 $$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x)$$ 로 차수를 올려 갑니다. \(x = 0\)에서는 극한값을 적용해 \(j_0(0) = 1\), \(\nu > 0\)에서는 \(j_n(0) = 0\) 으로 처리하여 0으로 나누는 문제를 피합니다.

\(j_{\nu}(x)\)는 반정수 차수의 일반 베셀 함수 \(J\)에 \(\sqrt{\pi/2x}\)를 곱해 얻습니다.

계산 예시

차수 \(\nu = 0\), 초기값 0, 증가량 0.2, 행 수 6으로 설정하면 \(x = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0\) 이 됩니다. \(j_0(x) = \sin(x)/x\) 를 사용하면 $$j_0(0)=1,\quad j_0(0.2)=0.993347,\quad j_0(0.4)=0.973546,$$ $$j_0(0.6)=0.941071,\quad j_0(0.8)=0.896695,\quad j_0(1.0)=0.841471$$ 로, 우리가 익히 아는 감쇠형 sinc 곡선 모양이 나타납니다.

자주 묻는 질문

차수를 소수로 넣어도 되나요? 네. 정수가 아닌 \(\nu\)에 대해서는 \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\) 급수 형태를 사용합니다.

x가 0에서 시작하는데 첫 값이 정확히 1인 이유는? 극한에 의해 \(j_0(0) = 1\) 이기 때문입니다. \(\nu > 0\)인 경우에는 극한값이 0입니다.

상향 점화식은 언제나 안전한가요? 표를 보기 위한 적당한 차수와 일반적인 x 범위에서는 안전합니다. x에 비해 차수가 매우 큰 경우에는 하향 점화식이 더 안정적이지만, 이 계산기에서는 그런 상황이 거의 없습니다.