이 계산기의 기능
이 도구는 제1종 구면 베셀 함수 \(j_{\nu}(x)\)의 값을 일련의 x 값에 대해 표로 정리해 줍니다. 차수 \(\nu\), 시작 x 값, 증가량(스텝), 생성할 행 수를 입력하면 \((x, j_{\nu}(x))\) 쌍으로 이루어진 두 열짜리 표를 돌려줍니다. 순수한 수학 계산이므로 어느 나라에서나 동일하게 적용되며, 국가나 단위에 대한 가정은 전혀 들어가지 않습니다.
사용 방법
차수 \(\nu\)(0, 1, 2처럼 정수든 1.5 같은 실수든 어떤 실수 값이든 가능합니다), x의 초기값, 각 행마다 x에 더해지는 증가량, 그리고 행 수를 입력하세요. 각 행 \(k\)의 x는 $$x_k = \text{초기값} + k\cdot\text{증가량}$$ 으로 계산됩니다. 맨 위에 크게 표시되는 대표 숫자는 첫 번째 x에서의 \(j_{\nu}\) 값이며, 표에는 생성된 모든 값이 나열됩니다.
공식 풀이
일반적인 실수 차수의 경우 $$j_{\nu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; J_{\nu+\frac{1}{2}}(x)$$ 로 계산합니다. 여기서 \(J\)는 보통의 제1종 베셀 함수로, 거듭제곱 급수와 Lanczos 감마 함수를 통해 계산됩니다. 정수 차수에서는 수치적으로 안정적인 닫힌 형태인 \(j_0(x) = \sin(x)/x\) 와 \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\) 를 사용한 뒤, 상향 점화식 $$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x)$$ 로 차수를 올려 갑니다. \(x = 0\)에서는 극한값을 적용해 \(j_0(0) = 1\), \(\nu > 0\)에서는 \(j_n(0) = 0\) 으로 처리하여 0으로 나누는 문제를 피합니다.
계산 예시
차수 \(\nu = 0\), 초기값 0, 증가량 0.2, 행 수 6으로 설정하면 \(x = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0\) 이 됩니다. \(j_0(x) = \sin(x)/x\) 를 사용하면 $$j_0(0)=1,\quad j_0(0.2)=0.993347,\quad j_0(0.4)=0.973546,$$ $$j_0(0.6)=0.941071,\quad j_0(0.8)=0.896695,\quad j_0(1.0)=0.841471$$ 로, 우리가 익히 아는 감쇠형 sinc 곡선 모양이 나타납니다.
자주 묻는 질문
차수를 소수로 넣어도 되나요? 네. 정수가 아닌 \(\nu\)에 대해서는 \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\) 급수 형태를 사용합니다.
x가 0에서 시작하는데 첫 값이 정확히 1인 이유는? 극한에 의해 \(j_0(0) = 1\) 이기 때문입니다. \(\nu > 0\)인 경우에는 극한값이 0입니다.
상향 점화식은 언제나 안전한가요? 표를 보기 위한 적당한 차수와 일반적인 x 범위에서는 안전합니다. x에 비해 차수가 매우 큰 경우에는 하향 점화식이 더 안정적이지만, 이 계산기에서는 그런 상황이 거의 없습니다.
