제2종 구면 베셀 함수란?
제2종 구면 베셀 함수는 \(y_v(x)\)로 표기하며, 구면 베셀 미분방정식 \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\)의 한 해입니다. 이 함수는 물리학 전반에서 등장합니다. 산란 이론, 양자역학(자유 입자에 대한 동경 슈뢰딩거 방정식), 그리고 구면 대칭을 갖는 전자기파·음향파 문제 등이 대표적입니다. 제1종 함수 \(j_v(x)\)와 달리, 제2종 함수 \(y_v(x)\)는 \(x\)가 0에 가까워질수록 음의 무한대로 발산합니다.
계산기 사용법
차수 \(v\)(임의의 실수이며, 보통은 작은 음이 아닌 정수가 가장 많이 쓰입니다), \(x\)의 시작값, \(x\) 값 사이의 증가 폭(스텝), 그리고 생성할 행의 개수를 입력하세요. 그러면 \(x\)와 \(y_v(x)\)의 표와 함께 결과 그래프가 만들어집니다. \(x = 0\)은 특이점이므로, \(x \le 0\)인 행은 "정의되지 않음"으로 표시됩니다.
공식
이 함수는 제2종 원통형 베셀 함수로부터 다음과 같이 정의됩니다.
$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$정수 차수의 경우 초등 함수로 표현되는 닫힌 형태가 성립합니다. 예를 들어 \(y_0(x) = -\cos(x)/x\), \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\)입니다. 더 높은 차수는 전방 점화식 \(y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\,y_v(x) - y_{v-1}(x)\)로 구할 수 있습니다.
예제 풀이
차수 \(v = 1\), 시작값 \(x = 2\)일 때:
$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0.4161468}{4} - \frac{0.9092974}{2} = 0.1040367 - 0.4546487 = -0.3506120$$\(v = 0\)이고 \(x = 1, 2, 3\)일 때는 각각 \(-0.540302\), \(0.208073\), \(0.329998\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 \(x = 0\)에서 정의되지 않나요? \(\sqrt{\pi/(2x)}\) 항과 \(1/x\) 항들이 발산하기 때문에 \(y_v(0) = -\infty\) 가 됩니다.
\(x\)가 음수일 수도 있나요? 표준 실수 정의에서 \(y_v(x)\)는 \(x > 0\)일 때만 실수 값을 가집니다. 음수 \(x\)는 정의되지 않음으로 표시됩니다.
\(x\)가 매우 클 때는 어떻게 되나요? 함수는 \(1/x\)로 감쇠하는 진폭을 가지며 진동합니다. 즉 \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\) 로 근사됩니다.
