Калькулятор таблицы сферической функции Бесселя второго рода

Введите расчет

Порядок v

Начальное значение x

Шаг изменения x

Количество строк

Результатов

First value y_v(x) (order v = 0)

-4,900333

сферическая функция Бесселя второго рода

x	yv(x)
0.0000	undefined
0.2000	-4.900333
0.4000	-2.302652
0.6000	-1.375559
0.8000	-0.870883
1.0000	-0.540302
1.2000	-0.301965
1.4000	-0.121405
1.6000	0.018250
1.8000	0.126223
2.0000	0.208073
2.2000	0.267501
2.4000	0.307247
2.6000	0.329573
2.8000	0.336508
3.0000	0.329997
3.2000	0.311967
3.4000	0.284352
3.6000	0.249100
3.8000	0.208149
4.0000	0.163411
4.2000	0.116729
4.4000	0.069848
4.6000	0.024381
4.8000	-0.018229
5.0000	-0.056732
5.2000	-0.090099
5.4000	-0.117536
5.6000	-0.138494
5.8000	-0.152676
6.0000	-0.160028
6.2000	-0.160733
6.4000	-0.155185
6.6000	-0.143975
6.8000	-0.127853
7.0000	-0.107700
7.2000	-0.084493
7.4000	-0.059263
7.6000	-0.033061
7.8000	-0.006917
8.0000	0.018188
8.2000	0.041360
8.4000	0.061820
8.6000	0.078921
8.8000	0.092170
9.0000	0.101237
9.2000	0.105961
9.4000	0.106350
9.6000	0.102572
9.8000	0.094941
10.0000	0.083907

Что такое сферическая функция Бесселя второго рода?

Сферическая функция Бесселя второго рода, которую обозначают \(y_v(x)\), — это решение сферического дифференциального уравнения Бесселя \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\). Она встречается практически во всех разделах физики: в теории рассеяния, квантовой механике (радиальное уравнение Шрёдингера для свободной частицы), а также в задачах об электромагнитных и акустических волнах со сферической симметрией. В отличие от функции первого рода \(j_v(x)\), функция второго рода \(y_v(x)\) уходит в минус бесконечность при стремлении \(x\) к нулю.

Spherical Bessel functions of the second kind y_v(x) for orders v=0,1,2, showing the singularity as x approaches 0 and decaying oscillations.

Как пользоваться калькулятором

Укажите порядок \(v\) (любое вещественное число, но чаще всего берут небольшие неотрицательные целые), начальное значение \(x\), шаг между соседними значениями \(x\) и количество строк, которые нужно сгенерировать. Калькулятор построит таблицу значений \(x\) и \(y_v(x)\), а также график результата. Поскольку точка \(x = 0\) является особой, для любой строки с \(x \le 0\) выводится отметка «не определено».

Формула

Функция выражается через цилиндрическую функцию Бесселя второго рода:

$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$

Для целых порядков существуют элементарные замкнутые формы, например \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) и \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). Значения для более высоких порядков удобно находить по прямой рекуррентной формуле

$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\cdot y_v(x) - y_{v-1}(x)$$

Реклама

The spherical function y_v(x) is obtained from the ordinary Bessel function Y of half-integer-shifted order times a scaling factor.

Разбор примера

Возьмём порядок \(v = 1\) и начальное \(x = 2\):

$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0{,}4161468}{4} - \frac{0{,}9092974}{2} = 0{,}1040367 - 0{,}4546487 = -0{,}3506120$$

Для \(v = 0\) при \(x = 1, 2, 3\) получаются значения \(-0{,}540302\), \(0{,}208073\), \(0{,}329998\).

Частые вопросы

Почему при \(x = 0\) значение не определено? Множитель \(\sqrt{\pi/(2x)}\) и слагаемые вида \(1/x\) обращаются в бесконечность, поэтому \(y_v(0) = -\infty\).

Может ли \(x\) быть отрицательным? В стандартном вещественном определении \(y_v(x)\) принимает вещественные значения только при \(x > 0\), поэтому отрицательные \(x\) помечаются как «не определено».

Как ведёт себя функция при больших \(x\)? Она осциллирует с убывающей огибающей \(1/x\): \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\).