Что делает калькулятор таблицы функций Эйри?
Этот инструмент вычисляет две функции Эйри — Ai(x) и Bi(x), — а при желании и их производные Ai'(x) и Bi'(x) на заданном диапазоне действительных значений x. Функции Эйри — это два линейно независимых решения дифференциального уравнения Эйри \(y'' - x \cdot y = 0\). Они встречаются повсюду в физике: в квантовой механике они описывают волновую функцию вблизи классической точки поворота, а также возникают в оптике, асимптотическом анализе и теории радуги.
Как пользоваться
Укажите начальное значение x, конечное значение x и шаг. Калькулятор создаёт по одной строке на каждое значение x от начала до конца диапазона включительно. Поставьте галочку «производные», чтобы вывести также Ai'(x) и Bi'(x). На графике откладываются Ai(x) и Bi(x) в зависимости от x, так что хорошо видно, как Ai затухает при положительных x и как обе функции осциллируют при отрицательных x.
Формула
Используется разложение в ряд в окрестности нуля с \(\alpha = \text{Ai}(0) = 0{,}3550280539\) и \(\beta = -\text{Ai}'(0) = 0{,}2588194038\):
$$\text{Ai}(x) = \alpha\, f(x) - \beta\, g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\big(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\big)$$ где \(f(x) = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \dots\) и \(g(x) = x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \dots\) При \(|x|\) больше примерно 8 калькулятор переходит к асимптотическим формулам с \(\zeta = \frac{2}{3} \cdot |x|^{3/2}\), чтобы избежать ошибки от взаимного сокращения слагаемых.
Разбор примера
При \(x = 0\): \(f(0) = 1\), \(g(0) = 0\), поэтому \(\text{Ai}(0) = \alpha = 0{,}3550281\), а $$\text{Bi}(0) = \sqrt{3} \cdot \alpha = 0{,}6149266.$$ При \(x = 1\): \(f(1) \approx 1{,}1722535\) и \(g(1) \approx 1{,}0853407\), что даёт \(\text{Ai}(1) \approx 0{,}1352924\) и \(\text{Bi}(1) \approx 1{,}2074236\) — это совпадает с табличными значениями.
Частые вопросы
Почему Bi(x) уходит в бесконечность? При больших положительных x функция Bi(x) растёт как \(\exp(\zeta)\) и переполняет двойную точность уже примерно при x выше ~230. Держите верхнюю границу диапазона небольшой.
Почему функции «дрожат» при отрицательных x? При x, стремящемся к минус бесконечности, обе функции осциллируют с амплитудой, затухающей как \(|x|^{-1/4}\).
Какие используются единицы измерения? Никаких — x является чистым действительным числом, а результаты безразмерны.
Определения и глоссарий
- Функция Эйри первого рода, \(\text{Ai}(x)\)
- Решение уравнения Эйри, которое стремится к нулю при \(x \to +\infty\). Для больших положительных \(x\) она убывает как \(\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\); для отрицательных \(x\) она колеблется с медленно растущей длиной волны.
- Функция Эйри второго рода, \(\text{Bi}(x)\)
- Второе линейно независимое решение. Она растёт как \(\dfrac{e^{\zeta}}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\) при \(x \to +\infty\) и, как и Ai, колеблется для \(x<0\).
- Дифференциальное уравнение Эйри, \(y'' - xy = 0\)
- Простейшее линейное ОДУ второго порядка с поворотной точкой в начале координат. Его общее решение имеет вид \(y(x) = c_1\,\text{Ai}(x) + c_2\,\text{Bi}(x)\). Оно возникает в оптике, квантовой механике (частица в линейном потенциале) и в анализе волновых задач методом ВКБ.
- \(\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}\)
- Естественная переменная фазы/затухания для функций Эйри. Она определяет экспоненциальный рост и затухание при \(x>0\) и фазу колебаний при \(x<0\), входя во все асимптотические разложения.
- Поворотная точка
- Значение \(x\), в котором характер поведения уравнения изменяется. Для \(y'' - xy = 0\) поворотная точка находится в \(x=0\): решения колеблются при \(x<0\) (где коэффициент \(-x\) положителен) и экспоненциальны (растущие или затухающие) при \(x>0\).
- Асимптотическое разложение
- Ряд по обратным степеням \(\zeta\) (или \(x^{3/2}\)), который хорошо приближает Ai и Bi при больших \(|x|\). Он не обязательно сходится, однако несколько первых членов дают отличную точность далеко от начала координат, где степенные ряды из вкладки формул сходятся медленно.
- Вронскиан
- Определитель \(W = \text{Ai}(x)\,\text{Bi}'(x) - \text{Ai}'(x)\,\text{Bi}(x)\). Ненулевой постоянный вронскиан (здесь \(1/\pi\)) подтверждает, что Ai и Bi линейно независимы и, следовательно, составляют полный базис решений.
