Airy Fonksiyonu Ai(x) ve Bi(x) Tablo Hesaplayıcı

x	Ai(x)	Bi(x)
-10	0,039209	-0,314835
-9,5	0,319264	0,036655
-9	-0,020884	0,325065
-8,5	-0,330297	0,009141
-8	-0,052705	-0,331252
-7,5	0,321776	-0,112463
-7	0,184281	0,293762
-6,5	-0,23802	0,261013
-6	-0,329145	-0,146698
-5,5	0,017782	-0,367813
-5	0,350761	-0,138369
-4,5	0,292153	0,253873
-4	-0,070266	0,392235
-3,5	-0,375534	0,16894
-3	-0,378814	-0,19829
-2,5	-0,112325	-0,432422
-2	0,227407	-0,412303
-1,5	0,464257	-0,191785
-1	0,535561	0,103997
-0,5	0,475728	0,380353
0	0,355028	0,614927
0,5	0,231694	0,854277
1	0,135292	1,207424
1,5	0,071749	1,878942
2	0,034924	3,298095
2,5	0,015726	6,481661
3	0,006591	14,037329
3,5	0,002584	33,055507
4	0,000952	83,847071
4,5	0,00033	227,588082
5	0,000108	657,792044

Airy Fonksiyonu Tablo Hesaplayıcı nedir?

Bu araç, iki Airy fonksiyonunu, yani $\text{Ai}(x)$ ve $\text{Bi}(x)$ değerlerini ve isteğe bağlı olarak türevleri $\text{Ai}'(x)$ ile $\text{Bi}'(x)$ değerlerini, belirlediğiniz bir reel x aralığı boyunca hesaplar. Airy fonksiyonları, $y'' - x\,y = 0$ biçimindeki Airy diferansiyel denkleminin doğrusal olarak bağımsız iki çözümüdür. Fizikte sık sık karşımıza çıkarlar: kuantum mekaniğinde klasik dönüm noktası civarındaki dalga fonksiyonunu tanımlarlar; ayrıca optikte, asimptotik analizde ve gökkuşağı teorisinde de boy gösterirler.

x'e karşı Airy fonksiyonları Ai(x) ve Bi(x) grafiği — Gerçek x üzerinde Airy fonksiyonları Ai(x) (azalan) ve Bi(x) (artan).

Nasıl kullanılır?

Bir başlangıç x değeri, bir bitiş x değeri ve bir adım büyüklüğü girin. Hesaplayıcı, başlangıç x değerinden bitiş x değerine kadar (her ikisi de dâhil) her bir x için bir satır oluşturur. Türevler kutusunu işaretlerseniz $\text{Ai}'(x)$ ve $\text{Bi}'(x)$ değerleri de listelenir. Grafik, $\text{Ai}(x)$ ve $\text{Bi}(x)$ eğrilerini x'e göre çizer; böylece pozitif x için Ai'nin nasıl söndüğünü, negatif x içinse her iki fonksiyonun nasıl salındığını net biçimde görebilirsiniz.

Formül

Orijin etrafındaki seri açılımı kullanılır; burada $\alpha = \text{Ai}(0) = 0.3550280539$ ve $\beta = -\text{Ai}'(0) = 0.2588194038$ alınır:

$$\text{Ai}(x) = \alpha\, f(x) - \beta\, g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\big(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\big)$$ Burada $f(x) = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \cdots$ ve $g(x) = x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \cdots$ şeklindedir. $|x|$ değeri yaklaşık 8'i aştığında hesaplayıcı, sadeleşme (cancellation) hatasını önlemek için $\zeta = \frac{2}{3}|x|^{3/2}$ ile asimptotik biçimlere geçer.

Reklam

Ai ve Bi'yi oluşturmak için birleşen seri yapı taşları f(x) ve g(x) — Ai ve Bi, iki kuvvet serisi çözümü f(x) ve g(x)'ten oluşur.

Çözümlü örnek

$x = 0$ için: $f(0)=1$, $g(0)=0$ olduğundan $\text{Ai}(0) = \alpha = 0.3550281$ ve $\text{Bi}(0) = \sqrt{3}\,\alpha = 0.6149266$ elde edilir. $x = 1$ için: $f(1)$ yaklaşık $1.1722535$ ve $g(1)$ yaklaşık $1.0853407$ olur; bu da $\text{Ai}(1)$ yaklaşık $0.1352924$ ve $\text{Bi}(1)$ yaklaşık $1.2074236$ değerlerini verir ve tablodaki referans değerlerle birebir örtüşür.

Reklam

Sık sorulan sorular

Bi(x) neden patlıyor? Büyük pozitif x değerleri için $\text{Bi}(x)$, $\exp(\zeta)$ gibi büyür ve x yaklaşık 230'u aştığında çift duyarlıklı (double) sayı sınırlarını taşar. Üst sınırı makul tutmakta fayda var.

Fonksiyonlar neden negatif x'te dalgalanıyor? x eksi sonsuza giderken her iki fonksiyon da salınır ve genlikleri $|x|^{-1/4}$ gibi gitgide söner.

Hangi birimler kullanılıyor? Hiçbiri — x saf bir reel sayıdır ve çıktı değerleri boyutsuzdur.

Tanımlar ve Sözlük

Birinci tür Airy fonksiyonu, $\text{Ai}(x)$: $x \to +\infty$ olarak sıfıra azalan Airy denkleminin çözümü. Büyük pozitif $x$ için $\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}$ gibi azalır; negatif $x$ için yavaş artan dalga boyuyla salınır.
İkinci tür Airy fonksiyonu, $\text{Bi}(x)$: İkinci, doğrusal bağımsız çözüm. $x \to +\infty$ olarak $\dfrac{e^{\zeta}}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}$ gibi büyür ve Ai gibi $x<0$ için salınır.
Airy diferansiyel denklemi, $y'' - xy = 0$: Orijinde bir dönüm noktası olan en basit ikinci dereceden doğrusal ODE. Genel çözümü $y(x) = c_1\,\text{Ai}(x) + c_2\,\text{Bi}(x)$ şeklindedir. Optik, kuantum mekaniği (doğrusal potansiyeldeki bir parçacık) ve dalga problemlerinin WKB analizi में ortaya çıkar.
$\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}$: Airy fonksiyonları için doğal faz/azalma değişkeni. $x>0$ için üstel büyüme ve azalmayı, $x<0$ için salınım fazını yönetir ve asimptotik açılımlar boyunca ortaya çıkar.
Dönüm noktası: $x$ değeri, denklemin davranışının değiştiği noktadır. $y'' - xy = 0$ için dönüm noktası $x=0$ noktasındadır: çözümler $x<0$ için salınımlı (katsayı $-x$ pozitiftir) ve $x>0$ için üstel (büyüyen veya azalan) karakterdedir.
Asimptotik açılım: $\zeta$ (veya $x^{3/2}$) ters kuvvetlerinde bir seri olup, büyük $|x|$ için Ai ve Bi'yi doğru şekilde yaklaştırır. Yakınsak olmayabilir, ancak birkaç terim orijinden uzakta, formül sekmesinin kuvvet serilerinin yavaş yakınsadığı yerde mükemmel kesinlik sağlar.
Wronskian: $W = \text{Ai}(x)\,\text{Bi}'(x) - \text{Ai}'(x)\,\text{Bi}(x)$ determinantı. Sıfırdan farklı bir sabit Wronskian (burada $1/\pi$), Ai ve Bi'nin doğrusal bağımsız olduğunu ve bu nedenle tam bir çözüm tabanı oluşturduğunu onaylar.