À quoi sert le calculateur de table des fonctions d'Airy ?
Cet outil évalue les deux fonctions d'Airy, \(\text{Ai}(x)\) et \(\text{Bi}(x)\), ainsi que, en option, leurs dérivées \(\text{Ai}'(x)\) et \(\text{Bi}'(x)\), sur une plage de valeurs réelles de \(x\). Les fonctions d'Airy sont les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation différentielle d'Airy \(y'' - x \cdot y = 0\). On les rencontre partout en physique : en mécanique quantique, elles décrivent la fonction d'onde au voisinage d'un point de rebroussement classique, mais elles apparaissent aussi en optique, en analyse asymptotique et dans la théorie des arcs-en-ciel.
Mode d'emploi
Saisissez une valeur de départ pour \(x\), une valeur de fin et un pas. Le calculateur génère une ligne par valeur de \(x\), de \(x\) de départ à \(x\) de fin inclus. Cochez la case des dérivées pour afficher également \(\text{Ai}'(x)\) et \(\text{Bi}'(x)\). Le graphique trace \(\text{Ai}(x)\) et \(\text{Bi}(x)\) en fonction de \(x\) : vous voyez ainsi \(\text{Ai}\) décroître pour les \(x\) positifs, tandis que les deux fonctions oscillent pour les \(x\) négatifs.
La formule
En utilisant le développement en série autour de l'origine avec \(\alpha = \text{Ai}(0) = 0{,}3550280539\) et \(\beta = -\text{Ai}'(0) = 0{,}2588194038\) :
$$\text{Ai}(x) = \alpha\, f(x) - \beta\, g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\big(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\big)$$ où \(f(x) = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \ldots\) et \(g(x) = x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \ldots\) Pour \(|x|\) supérieur à environ \(8\), le calculateur bascule vers les formes asymptotiques avec \(\zeta = \frac{2}{3} \cdot |x|^{3/2}\) afin d'éviter les erreurs de compensation.
Exemple détaillé
En \(x = 0\) : \(f(0) = 1\), \(g(0) = 0\), donc \(\text{Ai}(0) = \alpha = 0{,}3550281\) et \(\text{Bi}(0) = \sqrt{3} \cdot \alpha = 0{,}6149266\). En \(x = 1\) : \(f(1) \approx 1{,}1722535\) et \(g(1) \approx 1{,}0853407\), ce qui donne \(\text{Ai}(1) \approx 0{,}1352924\) et \(\text{Bi}(1) \approx 1{,}2074236\), en accord avec les valeurs tabulées de référence.
Définitions et Glossaire
- Fonction d'Airy de première espèce, \(\text{Ai}(x)\)
- La solution de l'équation d'Airy qui décroît vers zéro quand \(x \to +\infty\). Pour \(x\) grand et positif, elle décroît comme \(\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\) ; pour \(x\) négatif, elle oscille avec une longueur d'onde croissant lentement.
- Fonction d'Airy de deuxième espèce, \(\text{Bi}(x)\)
- La deuxième solution, linéairement indépendante. Elle croît comme \(\dfrac{e^{\zeta}}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\) quand \(x \to +\infty\) et, comme Ai, oscille pour \(x<0\).
- Équation différentielle d'Airy, \(y'' - xy = 0\)
- L'équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre la plus simple ayant un point tournant à l'origine. Sa solution générale est \(y(x) = c_1\,\text{Ai}(x) + c_2\,\text{Bi}(x)\). Elle apparaît en optique, en mécanique quantique (particule dans un potentiel linéaire) et dans l'analyse WKB de problèmes ondulatoires.
- \(\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}\)
- La variable phase/décroissance naturelle pour les fonctions d'Airy. Elle gouverne la croissance et la décroissance exponentielles pour \(x>0\) et la phase d'oscillation pour \(x<0\), apparaissant dans tous les développements asymptotiques.
- Point tournant
- Une valeur de \(x\) où le comportement de l'équation change de caractère. Pour \(y'' - xy = 0\), le point tournant est à \(x=0\) : les solutions sont oscillatoires pour \(x<0\) (où le coefficient \(-x\) est positif) et exponentielles (croissantes ou décroissantes) pour \(x>0\).
- Développement asymptotique
- Une série en puissances inverses de \(\zeta\) (ou \(x^{3/2}\)) qui approche Ai et Bi avec précision pour \(|x|\) grand. Elle n'a pas besoin de converger, mais quelques termes donnent une excellente précision loin de l'origine, là où la série de puissances de l'onglet de formules converge lentement.
- Wronskien
- Le déterminant \(W = \text{Ai}(x)\,\text{Bi}'(x) - \text{Ai}'(x)\,\text{Bi}(x)\). Un Wronskien constant non nul (ici \(1/\pi\)) confirme que Ai et Bi sont linéairement indépendants et forment donc une base de solution complète.
FAQ
Pourquoi \(\text{Bi}(x)\) explose-t-elle ? Pour les grands \(x\) positifs, \(\text{Bi}(x)\) croît comme \(\exp(\zeta)\) et dépasse la précision double dès que \(x\) dépasse environ \(230\). Gardez donc une borne supérieure raisonnable.
Pourquoi les fonctions ondulent-elles pour les \(x\) négatifs ? Lorsque \(x\) tend vers moins l'infini, les deux fonctions oscillent avec une amplitude qui décroît comme \(|x|^{-1/4}\).
Quelles unités sont utilisées ? Aucune — \(x\) est un nombre réel pur et les valeurs en sortie sont sans dimension.
