À quoi sert ce calculateur
La loi normale centrée réduite N(0,1) est la fameuse courbe en cloche, de moyenne 0 et d'écart-type 1. À partir d'une valeur x (que l'on appelle aussi score z ou cote z), ce calculateur fournit quatre résultats : la densité de probabilité au point x, la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\), la probabilité cumulée supérieure \(P(X \ge x)\) et la probabilité bilatérale centrale \(P(-|x| \le X \le |x|)\). Il fonctionne pour tout réel x, qu'il soit positif, négatif ou nul.
Comment l'utiliser
Saisissez une valeur de x et lisez directement les résultats. Par exemple, x = 1 correspond à un écart-type au-dessus de la moyenne, tandis que x = 1,96 représente le seuil classique d'un intervalle de confiance à 95 %. Aucune unité n'est requise : la variable normale centrée réduite est sans dimension.
Les formules expliquées
La densité s'écrit $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$ où \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989423\). La fonction de répartition (probabilité cumulée inférieure) vaut $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ à l'aide de la fonction d'erreur de Gauss erf. La queue supérieure est \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\) et la probabilité centrale est \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\). Comme les bibliothèques mathématiques de base ne proposent pas la fonction erf, nous l'évaluons grâce à l'approximation rationnelle 7.1.26 d'Abramowitz & Stegun (erreur maximale d'environ \(1{,}5\times10^{-7}\)), précise à environ six décimales pour l'affichage.
Exemple détaillé
Pour x = 1 : $$\varphi(1) = 0{,}3989423 \times e^{-0{,}5} \approx 0{,}2419707$$ \(\operatorname{erf}(0{,}7071068) \approx 0{,}6826895\), d'où \(\Phi(1) \approx 0{,}8413447\), soit une queue supérieure de 0,1586553 et une probabilité centrale de 0,6826895 — on retrouve la célèbre règle « 68 % des valeurs se situent dans un intervalle de ±1 écart-type ».
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un score z ? C'est le nombre d'écarts-types séparant une valeur de la moyenne. Pour la loi normale centrée réduite, la valeur et son score z sont identiques.
Pourquoi la probabilité centrale utilise-t-elle |x| ? La région bilatérale est symétrique par rapport à zéro : un x négatif donne donc la même probabilité centrale que son équivalent positif.
Quelle est la précision des résultats ? L'approximation de la fonction d'erreur est exacte à environ six décimales près, ce qui est largement suffisant pour les travaux statistiques courants.
