Công cụ này làm gì
Phân phối chuẩn tắc N(0,1) chính là đường cong hình chuông quen thuộc, với giá trị trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1. Khi bạn nhập một giá trị x (còn gọi là điểm z hay z-score), máy tính sẽ cho ra bốn con số: mật độ xác suất tại x, xác suất tích lũy đuôi dưới P(X ≤ x), xác suất tích lũy đuôi trên P(X ≥ x), và xác suất hai phía nằm bên trong P(−|x| ≤ X ≤ |x|). Công cụ hoạt động với mọi số thực x — dương, âm hay bằng 0.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập giá trị x rồi đọc kết quả. Ví dụ, x = 1 tương ứng với một độ lệch chuẩn phía trên trung bình; còn x = 1,96 chính là ngưỡng kinh điển cho khoảng tin cậy 95%. Công cụ không cần đơn vị, bởi biến chuẩn tắc vốn là đại lượng không thứ nguyên.
Giải thích các công thức
Hàm mật độ là $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$ trong đó \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}3989423\). Hàm phân phối tích lũy đuôi dưới là $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ dùng hàm sai số Gauss (erf). Đuôi trên là \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\), và xác suất bên trong là \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\). Vì các thư viện toán học cơ bản không có sẵn hàm erf, chúng tôi tính nó bằng công thức xấp xỉ hữu tỉ Abramowitz & Stegun 7.1.26 (sai số tối đa khoảng \(1{,}5 \times 10^{-7}\)), đủ chính xác tới khoảng sáu chữ số thập phân để hiển thị.
Ví dụ minh họa
Với x = 1: $$\varphi(1) = 0{,}3989423 \times e^{-0{,}5} \approx 0{,}2419707$$ \(\operatorname{erf}(0{,}7071068) \approx 0{,}6826895\), nên \(\Phi(1) \approx 0{,}8413447\), cho ra đuôi trên là \(0{,}1586553\) và xác suất bên trong là \(0{,}6826895\) — đúng với quy tắc quen thuộc "68% giá trị nằm trong khoảng \(\pm 1\) độ lệch chuẩn".
Câu hỏi thường gặp
Điểm z (z-score) là gì? Đó là số độ lệch chuẩn mà một giá trị cách xa giá trị trung bình. Với phân phối chuẩn tắc, bản thân giá trị và điểm z của nó là một.
Vì sao xác suất bên trong lại dùng |x|? Vùng hai phía đối xứng qua điểm 0, nên một giá trị x âm cho cùng xác suất bên trong với giá trị dương tương ứng của nó.
Kết quả chính xác đến đâu? Phép xấp xỉ hàm sai số chính xác tới khoảng sáu chữ số thập phân — quá đủ cho hầu hết công việc thống kê thông thường.
