Công cụ này làm gì
Máy Tính Đồ Thị Phân Phối Chuẩn lập một bảng các cặp (x, giá trị) cho phân phối chuẩn (phân phối Gauss). Bạn chọn một trong ba hàm để lập bảng: hàm mật độ xác suất f(x), xác suất tích lũy dưới P(x) (chính là hàm phân phối tích lũy, hay CDF), hoặc xác suất tích lũy trên Q(x) (hàm sống sót — survival function). Dãy giá trị x được xác định bởi giá trị ban đầu, bước nhảy (số gia) và số điểm cần tạo. Khi trung bình \(\mu = 0\) và độ lệch chuẩn \(\sigma = 1\), bạn có phân phối chuẩn tắc (standard normal distribution).
Cách sử dụng
Chọn một hàm. Nhập trung bình \(\mu\) và độ lệch chuẩn \(\sigma\) (phải lớn hơn 0). Đặt giá trị ban đầu của x, số gia giữa các giá trị x liên tiếp, và số lần lặp (số điểm). Công cụ sẽ xuất ra một bảng, trong đó mỗi dòng thứ i cho \(x = x_{\text{ban đầu}} + i \cdot \text{bước nhảy}\) cùng giá trị của hàm đã chọn tại x đó. Với cấu hình mặc định (\(\mu=0\), \(\sigma=1\), bắt đầu = -5, bước = 0,1, 101 điểm), x quét từ -5 đến +5 và vẽ ra đường cong hình chuông quen thuộc cho f, hoặc đường cong hình chữ S cho P.
Giải thích công thức
Hàm mật độ là
$$f(\text{x}, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma}\right)^{2}}$$Các xác suất tích lũy sử dụng hàm sai số (error function): với \(z = \frac{\text{x}-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\), tích lũy dưới là
$$P = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf} z\right)$$và tích lũy trên là \(Q = 1 - P\). Vì Java/Groovy không có sẵn hàm erf, công cụ này dùng xấp xỉ đa thức Abramowitz & Stegun 7.1.26, đạt độ chính xác khoảng \(1{,}5\times10^{-7}\).
Ví dụ minh họa
Phân phối chuẩn tắc (\(\mu=0\), \(\sigma=1\)) tại x = 1:
$$f(1) = 0{,}3989423 \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}241971$$Với P, ta có \(z = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0{,}70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0{,}68269\), nên
$$P = \frac{1}{2}(1 + 0{,}68269) = 0{,}84134$$(chính là giá trị nổi tiếng \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\)). Khi đó \(Q = 1 - 0{,}84134 = 0{,}15866\), và \(P + Q = 1\). ✓
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(\sigma\) phải dương? Độ lệch chuẩn bằng 0 hoặc âm là vô nghĩa và sẽ dẫn đến chia cho 0 trong công thức, nên công cụ không chấp nhận giá trị này.
Bước nhảy có thể âm không? Có. Bước nhảy âm sẽ làm x giảm dần; bước nhảy bằng 0 sẽ cho ra một cột x với các giá trị giống hệt nhau.
P và Q chính xác đến mức nào? Chúng dùng xấp xỉ đa thức cho erf với sai số tối đa khoảng \(1{,}5\times10^{-7}\), quá đủ cho việc vẽ đồ thị và hầu hết các bài toán thống kê.
