Что делает этот калькулятор
Калькулятор графика нормального распределения строит таблицу пар (x, значение) для нормального (гауссова) распределения. Вы выбираете одну из трёх функций для табулирования: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю накопленную вероятность \(P(x)\) (функцию распределения, или CDF) либо верхнюю накопленную вероятность \(Q(x)\) (функцию выживания). Ряд значений x задаётся начальным значением, шагом (приращением) и количеством точек. При среднем \(\mu = 0\) и стандартном отклонении \(\sigma = 1\) вы получаете стандартное нормальное распределение.
Как пользоваться
Выберите функцию. Укажите среднее \(\mu\) и стандартное отклонение \(\sigma\) (оно должно быть больше 0). Задайте начальное значение x, приращение между соседними значениями x и число повторений (точек). Калькулятор формирует таблицу, в которой строка i содержит \(x = \text{начальное\_x} + i \cdot \text{шаг}\) и выбранную функцию, вычисленную при этом x. При настройках по умолчанию (\(\mu=0\), \(\sigma=1\), старт = -5, шаг = 0,1, 101 точка) x пробегает значения от -5 до +5 и вырисовывает знакомую колоколообразную кривую для f или S-образную кривую для P.
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением $$f(\text{x},\mu,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma}\right)^{2}}.$$ Накопленные вероятности используют функцию ошибок: при \(z = (x-\mu)/(\sigma\sqrt{2})\) нижняя накопленная вероятность равна $$P = \tfrac{1}{2}(1 + \operatorname{erf} z),$$ а верхняя — \(Q = 1 - P\). Поскольку в Java/Groovy нет встроенной функции erf, инструмент применяет полиномиальную аппроксимацию Абрамовица и Стиган 7.1.26 с точностью около \(1{,}5\times10^{-7}\).
Пример расчёта
Стандартное нормальное распределение (\(\mu=0\), \(\sigma=1\)) при x = 1: $$f(1) = 0{,}3989423 \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}241971.$$ Для P: \(z = 1/\sqrt{2} = 0{,}70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0{,}68269\), поэтому \(P = \tfrac{1}{2}(1 + 0{,}68269) = 0{,}84134\) (хорошо известное значение \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\)). Тогда \(Q = 1 - 0{,}84134 = 0{,}15866\), и \(P + Q = 1\). ✓
Частые вопросы
Почему σ должна быть положительной? Нулевое или отрицательное стандартное отклонение не имеет смысла и привело бы к делению на ноль в формулах, поэтому инструмент его не принимает.
Может ли шаг быть отрицательным? Да. Отрицательный шаг ведёт отсчёт x в сторону уменьшения; нулевой шаг даёт столбец с одинаковыми значениями x.
Насколько точны P и Q? Они используют полиномиальную аппроксимацию erf с максимальной погрешностью порядка \(1{,}5\times10^{-7}\), чего более чем достаточно для построения графиков и большинства статистических задач.
