Что такое нецентральное F-распределение?
Нецентральное F-распределение — это обобщение обычного (центрального) F-распределения за счёт добавления параметра нецентральности \(\lambda\). Оно возникает как распределение отношения нецентральной хи-квадрат величины (делённой на её число степеней свободы \(\nu_1\)) к независимой центральной хи-квадрат величине (делённой на \(\nu_2\)). Это распределение играет ключевую роль в анализе статистической мощности: когда нулевая гипотеза неверна, статистика F-критерия в дисперсионном анализе (ANOVA) или регрессии подчиняется именно нецентральному F-распределению, а параметр \(\lambda\) показывает, насколько истинный эффект отклоняется от нуля. При \(\lambda = 0\) распределение превращается в привычное центральное F-распределение.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите, какую величину нужно рассчитать: плотность вероятности \(f\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P\) (функция распределения, площадь слева от \(x\)) или верхнюю кумулятивную вероятность \(Q = 1 - P\) (площадь справа). Затем введите число степеней свободы числителя \(\nu_1\), число степеней свободы знаменателя \(\nu_2\) и параметр нецентральности \(\lambda\). После этого задайте ряд значений \(x\): начальное значение, шаг (приращение) и количество повторений. Калькулятор вычислит выбранную функцию в точках \(x = \text{initialX} + i \cdot \text{step}\) при \(i = 0..\text{count}-1\) и сведёт результаты в таблицу.
Разбор формулы
Плотность представляет собой взвешенное по Пуассону среднее центральных F-плотностей. Каждый вес равен $$w_j = \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}$$ — это вероятность \(j\) событий в распределении Пуассона со средним \(\lambda/2\). \(j\)-й член — это центральная F-плотность с числом степеней свободы \((\nu_1 + 2j,\ \nu_2)\), записанная через бета-функцию \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Для кумулятивной вероятности каждая плотность заменяется соответствующей функцией распределения центрального F, которая равна регуляризованной неполной бета-функции \(I_z\!\left(\nu_j/2,\ \nu_2/2\right)\), вычисленной при \(z = \frac{\nu_j\,x}{\nu_2 + \nu_j\,x}\).
Разбор примера
Возьмём \(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 2\), \(\lambda = 0\) (центральный случай) и найдём \(P\) при \(x = 1\). Тогда $$z = \frac{3 \cdot 1}{2 + 3 \cdot 1} = 0{,}6$$ и \(P = I_{0,6}(1{,}5,\ 1{,}0)\). Поскольку \(I_z(a,1) = z^a\), получаем \(0{,}6^{1,5} = 0{,}464758\), то есть \(P \approx 0{,}4648\), а \(Q \approx 0{,}5352\). Если добавить нецентральность \(\lambda = 1\), масса распределения смещается вправо, к большим \(x\), и нижняя вероятность снижается примерно до \(P = 0{,}451\).
Часто задаваемые вопросы
Что происходит при \(\lambda = 0\)? Результат точно совпадает с центральным F-распределением: вес имеет только член при \(j = 0\).
Почему плотность равна нулю при \(x = 0\)? При \(\nu_1 \geq 2\) плотность в точке \(x = 0\) равна 0; при \(\nu_1 < 2\) она стремится к бесконечности при \(x \to 0\), поэтому значение в точке \(x = 0\) здесь не имеет смысла.
Насколько точен ряд? Пуассоновские веса суммируются до тех пор, пока накопленная масса практически не достигнет 1, а неполная бета-функция вычисляется через цепную дробь с использованием логарифма гамма-функции для устойчивости — это обеспечивает высокую точность при типичных входных данных.
