Что такое калькулятор распределения Пуассона?
Распределение Пуассона описывает количество событий, происходящих за фиксированный промежуток времени или на фиксированном участке пространства, при условии, что известна постоянная средняя интенсивность (математическое ожидание), а сами события наступают независимо друг от друга. Этот калькулятор строит таблицу из трёх величин по последовательности значений x: функции вероятности \(f(x;\lambda)\), нижней кумулятивной вероятности \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\) и верхней кумулятивной вероятности \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\).
Как пользоваться калькулятором
Выберите, какой ряд выделить (функцию вероятности \(f\), нижнюю кумулятивную \(P\) или верхнюю кумулятивную \(Q\)). Укажите среднее значение \(\lambda\) (должно быть \(\ge 0\)), начальное значение x, шаг приращения и число повторений (строк). Калькулятор сформирует ряд $$x = \text{начальное\_}x,\ \text{начальное\_}x+\text{шаг},\ \text{начальное\_}x+2\cdot\text{шаг},\ \ldots$$ и для каждого значения покажет \(f\), \(P\) и \(Q\), выделяя выбранный столбец.
Разбор формулы
Функция вероятности задаётся как $$f(x;\lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{x}}{x!}.$$ Нижняя кумулятивная функция распределения суммирует все вероятности вплоть до x: $$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} f(t;\lambda).$$ Верхняя кумулятивная вероятность включает и сам член при x: $$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda),$$ поэтому \(P\) и \(Q\) «перекрываются» на величине \(f(x)\). Для численной устойчивости \(f\) вычисляется через логарифмы факториалов: $$f = \exp(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!)).$$
Разбор на примере
При \(\lambda = 5\) и \(x = 0\): \(e^{-5} = 0{,}006737947\), поэтому \(f(0) = 0{,}006737947\), \(P(0) = 0{,}006737947\), а $$Q(0) = 1 - 0{,}006737947 + 0{,}006737947 = 1.$$ При \(x = 5\) получаем \(f(5) = 0{,}175467\), \(P(5) = 0{,}615961\) и \(Q(5) = 0{,}559507\) — то есть около 61,6% всей вероятностной массы приходится на \(X \le 5\).
Частые вопросы
Почему сумма P + Q больше 1? Потому что и нижняя кумулятивная \(P\) (\(X \le x\)), и верхняя кумулятивная \(Q\) (\(X \ge x\)) включают точечную вероятность \(f(x)\); в сумме они дают \(1 + f(x)\).
Что происходит при \(\lambda = 0\)? Вся вероятность сосредоточена в точке \(x = 0\): \(f(0) = 1\), \(f(x) = 0\) при \(x > 0\), а \(P(x) = 1\) для любого \(x \ge 0\).
Может ли \(\lambda\) быть нецелым? Да — \(\lambda\) это интенсивность и может принимать любое значение \(\ge 0\); при этом значения x должны быть неотрицательными целыми числами.
