Что считает этот калькулятор
Распределение хи-квадрат (χ²) — одно из самых востребованных распределений в статистике. На нём держатся критерии согласия, проверка независимости в таблицах сопряжённости и доверительные интервалы для дисперсии. Калькулятор принимает точку x и число степеней свободы ν и возвращает три величины с высокой точностью: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(X \le x)\) и верхнюю (хвостовую) вероятность \(Q(X > x)\).
Как пользоваться
Введите неотрицательное значение x и положительное число степеней свободы ν (обычно это целое положительное число, хотя формула корректно работает и для нецелых ν). Нажмите «Рассчитать». Плотность показывает относительную «частоту» ровно в точке x; нижняя вероятность даёт площадь слева (дополнение к p-значению для одностороннего нижнего критерия); верхняя вероятность — площадь правого хвоста, и именно её приводят в качестве p-значения большинство критериев значимости на основе хи-квадрат.
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением $$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$ при \(x > 0\), где \(\Gamma\) — гамма-функция. Кумулятивная вероятность равна регуляризованной нижней неполной гамма-функции \(P\!\left(\frac{k}{2}, \frac{x}{2}\right)\). Мы вычисляем её численно: разложением в ряд при \(x/2 < k/2 + 1\) и разложением в непрерывную дробь (метод Ленца) в остальных случаях, а саму гамма-функцию находим через логарифмическое приближение Ланцоша (log-gamma) для устойчивости расчётов.
Пример расчёта
Пусть \(x = 2\) и \(\nu = 3\). Обозначим \(a = k/2 = 1.5\) и \(z = x/2 = 1\). Тогда плотность равна $$f = \exp\!\left[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)\right] \approx 0.20755.$$ Нижняя вероятность \(P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759\), а вероятность правого хвоста \(Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241\).
Частые вопросы
Что такое степени свободы? В статистических критериях это, как правило, число категорий за вычетом наложенных ограничений — например, \((\text{число строк}-1)\cdot(\text{число столбцов}-1)\) для таблицы сопряжённости.
Какое значение является p-значением? Для стандартного критерия хи-квадрат p-значение — это верхняя кумулятивная вероятность \(Q(X > x)\).
Может ли x быть нулём или отрицательным? При \(x = 0\) плотность зависит от ν, а кумулятивная вероятность равна 0. Отрицательные x лежат вне области определения: \(f = 0\), \(P = 0\), \(Q = 1\).
