Что делает калькулятор квантилей распределения хи-квадрат?
Этот инструмент находит процентную точку (её также называют квантилем, процентилем или критическим значением) распределения хи-квадрат. По заданной кумулятивной вероятности и числу степеней свободы он возвращает значение x, при котором функция распределения (CDF) хи-квадрат равна вашей целевой вероятности. По сути это обратная функция к CDF хи-квадрат. Она широко используется в проверке статистических гипотез, тестах на согласие (goodness-of-fit), анализе таблиц сопряжённости и при построении доверительных интервалов для дисперсии.
Как пользоваться
Сначала выберите режим вероятности. Вариант «Нижняя кумулятивная P» подходит, если ваша вероятность задана как \(P = P(X \le x)\) — площадь слева от \(x\). Вариант «Верхняя кумулятивная Q» используйте, когда вероятность — это площадь правого «хвоста» \(Q = P(X > x)\), то есть привычный уровень значимости alpha в одностороннем тесте. Введите вероятность (строго между 0 и 1) и число степеней свободы (\(\nu\), его также обозначают \(k\)). Калькулятор выдаст значение хи-квадрат \(x\).
Разбор формулы
CDF распределения хи-квадрат с \(\nu\) степенями свободы выражается через регуляризованную нижнюю неполную гамма-функцию: \(F(x; \nu) = \text{regularizedGammaP}\left(\frac{\nu}{2}, \frac{x}{2}\right)\). Нам нужна обратная функция. Положив \(a = \frac{\nu}{2}\) и взяв целевую вероятность \(p\) (где \(p = P\) в нижнем режиме или \(p = 1 - Q\) в верхнем), мы решаем уравнение $$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$ решая \(\text{regularizedGammaP}(a, z) = p\) относительно \(z\), после чего \(x = 2z\). Решатель сочетает разложение в ряд и цепную дробь для неполной гамма-функции, а также метод Ньютона с бисекцией для гарантированной сходимости.
Пример расчёта
Возьмём нижний режим: \(P = 0{,}95\), \(\nu = 10\). Тогда \(a = 5\), и мы решаем \(\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0{,}95\), получая \(z \approx 9{,}1535\), откуда $$x = 2z \approx 18{,}307.$$ Это совпадает с классическим критическим значением \(\chi^2(0{,}95; 10) = 18{,}307\). Если же взять верхний режим с \(Q = 0{,}05\) и \(\nu = 10\), то \(p = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\) и результат тот же: \(x \approx 18{,}307\).
Частые вопросы
В чём разница между P и Q? \(P\) — это площадь слева от \(x\) (нижний хвост), а \(Q\) — площадь справа (верхний хвост), причём \(P + Q = 1\).
Могут ли степени свободы быть дробными? Да. Формула на основе гамма-функции работает для любого \(\nu > 0\), хотя в большинстве статистических таблиц используются целые значения.
Какой диапазон вероятностей допустим? Строго \(0 < \text{вероятность} < 1\). При 0 квантиль равен 0, а при приближении вероятности к 1 квантиль неограниченно растёт.
