Что такое калькулятор бета-распределения?
Бета-распределение — это непрерывное распределение вероятностей, заданное на отрезке [0, 1] и определяемое двумя положительными параметрами формы — \(a\) и \(b\). Оно широко применяется в байесовской статистике (как сопряжённое априорное распределение для вероятностей), в анализе надёжности, в планировании проектов (метод PERT) и при моделировании долей. Этот калькулятор вычисляет функцию плотности вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(x)\) (функцию распределения) и верхнюю кумулятивную вероятность \(Q(x)\) (функцию выживания) на сетке значений \(x\), а также строит график выбранной функции.
Как пользоваться калькулятором
Выберите, какую функцию нужно рассчитать, введите параметры формы \(a\) и \(b\) (оба должны быть больше 0), затем задайте начальное значение \(x\), шаг и количество строк. Калькулятор вычисляет выбранную функцию в точках \(x = \text{initialX},\ \text{initialX} + \text{step},\ \text{initialX} + 2\cdot\text{step}\) и так далее. При значениях по умолчанию (начало 0, шаг 0,01, 101 строка) вы получите полный проход от \(x = 0{,}00\) до \(x = 1{,}00\). В результате вы увидите значение в первой точке \(x\), полную таблицу и график.
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением $$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)},$$ где бета-функция $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ нормирует площадь под кривой к единице. Для численной устойчивости расчёты ведутся через логарифм гамма-функции (аппроксимация Ланцоша), поэтому \(B(a,b)\) вычисляется как $$B(a,b) = \exp\!\big(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b)\big).$$ Нижняя кумулятивная вероятность равна регуляризованной неполной бета-функции \(I_x(a,b)\), которая считается методом непрерывных дробей из «Numerical Recipes» (betacf/betai). Верхняя кумулятивная вероятность находится просто: \(Q = 1 - P\).
Пример расчёта
Возьмём \(a = 2\), \(b = 3\), \(x = 0{,}3\). Тогда $$B(2,3) = \frac{1\cdot 2}{24} = 0{,}0833333,$$ поэтому $$f(0{,}3) = 12 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^2 = 12 \cdot 0{,}147 = 1{,}764.$$ Нижняя кумулятивная вероятность $$P(0{,}3) = I_{0{,}3}(2,3) = 0{,}3483,$$ а верхняя кумулятивная вероятность $$Q(0{,}3) = 1 - 0{,}3483 = 0{,}6517.$$
Частые вопросы
В каком диапазоне может находиться x? Бета-распределение определено на отрезке [0, 1]; за его пределами плотность равна 0.
За что отвечают параметры a и b? Они задают форму кривой: при \(a = b = 1\) получается равномерное распределение, большие значения концентрируют массу вблизи среднего \(a/(a+b)\), а значения меньше 1 смещают массу к краям отрезка.
Почему плотность может быть очень большой у краёв? При \(a < 1\) плотность стремится к бесконечности при приближении \(x\) к 0, а при \(b < 1\) — при приближении \(x\) к 1; эти граничные точки обрабатываются по предельным правилам.
Ключевые формулы и моменты
Бета-распределение — это непрерывное распределение вероятности, определённое на интервале поддержки \([0,1]\), управляемое двумя положительными параметрами формы \(a>0\) и \(b>0\). Его функция плотности вероятности имеет вид
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$Нормализующая константа \(B(a,b)\) называется бета-функцией и выражается через гамма-функции как
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$Основные моменты и дескрипторы формы суммированы ниже.
| Величина | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Математическое ожидание | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | все \(a,b>0\) |
| Дисперсия | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | все \(a,b>0\) |
| Мода | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| Асимметрия | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | все \(a,b>0\) |
Например, при \(a=2\) и \(b=5\) математическое ожидание равно \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\), а дисперсия равна \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\). Поскольку оба параметра больше 1, мода равна \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\). Когда \(a=b\) распределение симметрично относительно \(x=0.5\) и асимметрия равна нулю; когда \(b>a\) оно имеет правую асимметрию, а когда \(a>b\) — левую асимметрию. Частный случай \(a=b=1\) сводится к стандартному равномерному распределению на \([0,1]\).
Определения и глоссарий
- Параметр формы a
- Первый положительный параметр формы (\(a>0\)). Он управляет поведением плотности вблизи \(x=0\): значения \(a<1\) сдвигают массу к 0 (плотность расходится), \(a=1\) даёт конечную точку, а \(a>1\) делает плотность равной нулю в 0. Бо́льшие значения \(a\) относительно \(b\) смещают математическое ожидание к 1.
- Параметр формы b
- Второй положительный параметр формы (\(b>0\)). Он управляет поведением плотности вблизи \(x=1\) зеркальным образом того, как \(a\) управляет поведением вблизи 0. Бо́льшие значения \(b\) относительно \(a\) смещают математическое ожидание к 0.
- Функция плотности вероятности f(x)
- Относительная вероятность того, что случайная величина принимает значение \(x\), определяемая как \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) для \(0\le x\le 1\) и 0 в остальных местах. Площадь под \(f(x)\) на \([0,1]\) равна 1.
- Нижняя кумулятивная вероятность P(x) / функция распределения (CDF)
- Функция распределения, \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\). Она равна регуляризованной неполной бета-функции \(I_x(a,b)\) и монотонно возрастает от 0 при \(x=0\) к 1 при \(x=1\).
- Верхняя кумулятивная вероятность Q(x) / функция выживания
- Дополнительная (хвостовая) вероятность, \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\). Она убывает от 1 при \(x=0\) к 0 при \(x=1\).
- Бета-функция B(a,b)
- Нормализующая константа распределения, \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Она симметрична: \(B(a,b)=B(b,a)\).
- Гамма-функция \(\Gamma(z)\)
- Непрерывное продолжение факториала, определяемое как \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\), где \(\Gamma(n)=(n-1)!\) для положительных целых \(n\) и справедливо соотношение \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\).
- Регуляризованная неполная бета-функция \(I_x(a,b)\)
- Отношение \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\), которое находится в диапазоне от 0 до 1 и является точно функцией распределения бета-распределения, поэтому \(P(x)=I_x(a,b)\).
