Калькулятор гамма-распределения

Введите расчет

Параметр формы (k):

Параметр масштаба (θ):

Значение X:

Математическая формула

Show calculation steps (3)

1. Gamma Cumulative Distribution Function (CDF)

   

   γ is the lower incomplete gamma function; k = Shape, θ = Scale

2. Mean

   

   Mean = Shape × Scale

3. Variance

   

   Variance = Shape × Scale²

Результатов

Функция плотности вероятности (PDF): 0,36787944

Функция распределения (CDF): 0,26424112

Исходные параметры	Значение
Параметр формы (k)	2
Параметр масштаба (θ)	1
Значение X	1

Дополнительные результаты расчёта	Значение
Среднее	2
Дисперсия	2
Мода	1
Асимметрия	1,4142
Эксцесс	3

Что делает этот калькулятор

Калькулятор гамма-распределения вычисляет функцию плотности вероятности (PDF) и функцию распределения (CDF) гамма-распределения в выбранной точке X на основе параметра формы k и параметра масштаба θ. Помимо PDF и CDF, он рассчитывает математическое ожидание, дисперсию, моду, асимметрию и эксцесс распределения, давая полную статистическую картину всего по трём исходным значениям. Гамма-распределение широко применяется для моделирования времени ожидания, объёмов осадков, размеров страховых выплат и других непрерывных положительных величин.

PDF гамма-распределения принимает разные правоскошенные формы в зависимости от k и θ.

Три исходных параметра

• Параметр формы (k): Задаёт вид кривой. Малое k даёт круто убывающую форму, а большее k делает кривую более похожей на колокол.
• Параметр масштаба (θ): Растягивает распределение вдоль оси X. Чем больше θ, тем сильнее вероятность смещается к более высоким значениям.
• Значение X: Точка, в которой вычисляются плотность и накопленная вероятность.

Формула

Калькулятор использует следующую функцию плотности (PDF):

$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$

Здесь \(\Gamma(k)\) — гамма-функция. CDF — это интеграл от плотности в пределах от 0 до X, который вычисляется через регуляризованную нижнюю неполную гамма-функцию. Кроме того, калькулятор сразу выводит сводные характеристики распределения на основе параметров:

• Среднее = \(k\cdot\theta\)
• Дисперсия = \(k\cdot\theta^{2}\)
• Мода = \((k-1)\cdot\theta\) при \(k > 1\), иначе 0
• Асимметрия = \(2/\sqrt{k}\)
• Эксцесс (избыточный) = \(6/k\)

Реклама

CDF — это закрашенная площадь под кривой слева от X.

Разбор на примере

Пусть \(k = 2\), \(\theta = 3\) и \(X = 4\). Тогда плотность равна $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot \Gamma(2)} = \frac{4 \cdot 0{,}2636}{9} \approx 0{,}117.$$ Значение CDF в точке \(X = 4\) составляет около 0,385 — то есть примерно с вероятностью 38,5% величина окажется не больше 4. Среднее равно \(2 \times 3 = 6\), дисперсия — \(2 \times 3^{2} = 18\), мода — \((2-1) \times 3 = 3\), асимметрия — \(2/\sqrt{2} \approx 1{,}414\), а избыточный эксцесс — \(6/2 = 3\).

Часто задаваемые вопросы

Какая параметризация используется — через масштаб или через интенсивность? Калькулятор работает с формой через масштаб (θ). Если у вас задан параметр интенсивности β, переведите его по формуле \(\theta = 1/\beta\) перед вводом.

Какие значения допустимы? И k, и θ должны быть положительными, а X — не меньше 0, поскольку гамма-распределение определено только для неотрицательных значений.

Как гамма-распределение связано с экспоненциальным и распределением хи-квадрат? При \(k = 1\) гамма-распределение превращается в экспоненциальное со средним θ. Распределение хи-квадрат с v степенями свободы — это гамма-распределение с \(k = v/2\) и \(\theta = 2\).