यह कैलकुलेटर क्या करता है
गामा वितरण कैलकुलेटर किसी चुने हुए बिंदु X पर गामा वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) और संचयी वितरण फलन (CDF) निकालता है, जिसके लिए यह एक शेप प␊रैामीटर k और एक स्केल पैरामीटर θ का उपयोग करता है। PDF और CDF के साथ-साथ यह वितरण का माध्य, प्रसरण, बहुलक, विषमता और ककुदता भी बताता है, जिससे केवल तीन सरल इनपुट से आपको पूरी सांख्यिकीय तस्वीर मिल जाती है। गामा वितरण का व्यापक उपयोग प्रतीक्षा समय, वर्षा की मात्रा, बीमा दावों के आकार और अन्य सतत, धनात्मक मानों को मॉडल करने में होता है।
तीन इनपुट
- शेप पैरामीटर (k): वक्र का आकार तय करता है। छोटा k तेज़ी से घटती हुई आकृति देता है; बड़ा k इसे घंटी जैसी (bell shape) बना देता है।
- स्केल पैरामीटर (θ): वितरण को x-अक्ष के साथ फैलाता है। बड़ा θ प्रायिकता को उच्च मानों की ओर फैला देता है।
- X मान: वह बिंदु जिस पर घनत्व और संचयी प्रायिकता का मूल्यांकन किया जाता है।
सूत्र
कैलकुलेटर जिस PDF का उपयोग करता है, वह है:
$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$यहाँ \(\Gamma(k)\) गामा फलन है। CDF इसी घनत्व का 0 से X तक का समाकलन (integral) है, जिसे नियमित निम्न अपूर्ण गामा फलन (regularised lower incomplete gamma function) से निकाला जाता है। कैलकुलेटर सीधे पैरामीटरों से ये सारांश सांख्यिकी भी निकालता है:
- माध्य = \(k \cdot \theta\)
- प्रसरण = \(k \cdot \theta^{2}\)
- बहुलक = \((k-1) \cdot \theta\) जब \(k > 1\) हो, अन्यथा 0
- विषमता = \(2/\sqrt{k}\)
- ककुदता (अतिरिक्त) = \(6/k\)
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(k = 2\), \(\theta = 3\) और \(X = 4\) है। तब PDF होगा $$f(4) = \frac{4^{1} \cdot e^{-4/3}}{3^{2} \cdot \Gamma(2)} = \frac{4 \cdot 0.2636}{9} \approx 0.117$$ \(X = 4\) पर CDF लगभग 0.385 है, यानी करीब 38.5% संभावना है कि चर का मान 4 या उससे कम होगा। माध्य \(2 \times 3 = 6\) है, प्रसरण \(2 \times 3^{2} = 18\) है, बहुलक \((2-1) \times 3 = 3\) है, विषमता \(2/\sqrt{2} \approx 1.414\) है और अतिरिक्त ककुदता \(6/2 = 3\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह स्केल पैरामीटराइज़ेशन है या रेट? यह कैलकुलेटर स्केल रूप (θ) का उपयोग करता है। यदि आपके पास रेट पैरामीटर β है, तो इसे दर्ज करने से पहले \(\theta = 1/\beta\) से बदल लें।
कौन से मान मान्य हैं? k और θ दोनों धनात्मक होने चाहिए, और X को 0 या उससे अधिक रखें, क्योंकि गामा वितरण केवल अऋणात्मक मानों के लिए परिभाषित है।
गामा का चरघातांकी (exponential) और काई-वर्ग (chi-squared) वितरण से क्या संबंध है? जब \(k = 1\) हो, तो गामा वितरण माध्य θ वाले चरघातांकी वितरण में बदल जाता है। v स्वतंत्रता कोटि वाला काई-वर्ग वितरण असल में \(k = v/2\) और \(\theta = 2\) वाला गामा वितरण ही होता है।
