この計算機でできること
ガンマ分布計算機は、形状パラメータ k と尺度パラメータ θ を用いて、指定した点 X におけるガンマ分布の確率密度関数（PDF）と累積分布関数（CDF）を計算します。PDFとCDFに加えて、分布の平均・分散・最頻値・歪度・尖度も同時に算出するため、わずか3つの入力値から統計的な全体像をつかめます。ガンマ分布は、待ち時間、降水量、保険金の支払額など、連続的で正の値をとる量をモデル化する用途で広く使われています。
3つの入力値
- 形状パラメータ（k）：曲線の形を決めます。kが小さいと急激に減衰する形になり、kが大きくなるほど釣鐘型に近づきます。
- 尺度パラメータ（θ）：分布をx軸方向に引き伸ばします。θが大きいほど、確率がより大きな値の側へ広がります。
- X の値：密度と累積確率を求める評価点です。
計算式
本計算機が用いるPDFは次のとおりです。
$$f(\text{x}) = \frac{\text{x}^{\,k-1}\,e^{-\text{x}/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$
ここで \(\Gamma(k)\) はガンマ関数です。CDFはこの密度関数を 0 から X まで積分したもので、正規化された下側不完全ガンマ関数を用いて計算します。さらに、各パラメータから次の要約統計量を直接導きます。
- 平均 = \(k\cdot\theta\)
- 分散 = \(k\cdot\theta^{2}\)
- 最頻値 = \(k > 1\) のとき \((k-1)\cdot\theta\)、それ以外は 0
- 歪度 = \(2/\sqrt{k}\)
- 尖度（超過尖度） = \(6/k\)
計算例
たとえば k = 2、θ = 3、X = 4 とします。PDFは $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot\Gamma(2)} = \frac{4\cdot 0.2636}{9} \approx 0.117$$ となります。X = 4 におけるCDFは約 0.385 で、これは変数が 4 以下になる確率がおよそ 38.5% であることを意味します。平均は \(2 \times 3 = 6\)、分散は \(2 \times 3^{2} = 18\)、最頻値は \((2-1) \times 3 = 3\)、歪度は \(2/\sqrt{2} \approx 1.414\)、超過尖度は \(6/2 = 3\) です。
よくある質問
尺度パラメータと率パラメータ、どちらを使いますか？この計算機は尺度（θ）形式を採用しています。率パラメータ β をお持ちの場合は、入力前に \(\theta = 1/\beta\) で変換してください。
入力できる値の範囲は？k と θ はいずれも正の値でなければなりません。また、ガンマ分布は非負の値に対してのみ定義されるため、X は 0 以上である必要があります。
指数分布やカイ二乗分布との関係は？k = 1 のとき、ガンマ分布は平均 θ の指数分布に一致します。また、自由度 v のカイ二乗分布は、\(k = v/2\)、\(\theta = 2\) のガンマ分布として表せます。
