Qué hace esta calculadora
La Calculadora de Distribución Gamma calcula la función de densidad de probabilidad (PDF) y la función de distribución acumulada (CDF) de una distribución gamma en un punto X que elijas, a partir de un parámetro de forma k y un parámetro de escala θ. Además de la PDF y la CDF, también te muestra la media, la varianza, la moda, la asimetría y la curtosis de la distribución, ofreciéndote una imagen estadística completa a partir de solo tres datos. La distribución gamma se utiliza ampliamente para modelar tiempos de espera, cantidades de lluvia, importes de siniestros de seguros y otras magnitudes continuas y positivas.
Los tres datos de entrada
- Parámetro de forma (k): determina la forma de la curva. Un k pequeño produce una caída pronunciada; un k mayor le da un aspecto más acampanado.
- Parámetro de escala (θ): estira la distribución a lo largo del eje x. Cuanto mayor es θ, más se reparte la probabilidad hacia valores altos.
- Valor de X: el punto en el que se evalúan la densidad y la probabilidad acumulada.
La fórmula
La PDF que utiliza la calculadora es:
$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$Aquí \(\Gamma(k)\) es la función gamma. La CDF es la integral de esta densidad desde 0 hasta X, calculada mediante la función gamma incompleta inferior regularizada. La calculadora también deduce las estadísticas resumen directamente de los parámetros:
- Media = \(k\cdot\theta\)
- Varianza = \(k\cdot\theta^{2}\)
- Moda = \((k-1)\cdot\theta\) cuando k > 1, y 0 en caso contrario
- Asimetría = \(2/\sqrt{k}\)
- Curtosis (en exceso) = \(6/k\)
Ejemplo resuelto
Supongamos que k = 2, θ = 3 y X = 4. La PDF es $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot \Gamma(2)} = \frac{4 \cdot 0{,}2636}{9} \approx 0{,}117$$ La CDF en X = 4 es de aproximadamente 0,385, lo que significa que hay alrededor de un 38,5 % de probabilidad de que la variable sea igual o menor que 4. La media es \(2 \times 3 = 6\), la varianza es \(2 \times 3^{2} = 18\), la moda es \((2-1) \times 3 = 3\), la asimetría es \(2/\sqrt{2} \approx 1{,}414\) y la curtosis en exceso es \(6/2 = 3\).
Preguntas frecuentes
¿Usa parametrización de escala o de tasa? La calculadora emplea la forma de escala (θ). Si tienes un parámetro de tasa β, conviértelo con \(\theta = 1/\beta\) antes de introducirlo.
¿Qué valores son válidos? Tanto k como θ deben ser positivos, y X debe ser 0 o mayor, ya que la distribución gamma solo está definida para valores no negativos.
¿Cómo se relaciona la gamma con la exponencial y la chi-cuadrado? Cuando k = 1, la gamma se reduce a una distribución exponencial con media θ. Una distribución chi-cuadrado con v grados de libertad es una gamma con k = v/2 y θ = 2.
