Qué hace esta calculadora
La calculadora gráfica de la distribución gamma evalúa la distribución gamma sobre una rejilla de valores de x y devuelve en cada punto tres magnitudes relacionadas: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(x)\) y la probabilidad acumulada superior o de supervivencia \(Q(x)\). La distribución gamma es una distribución continua definida para \(x > 0\) y se utiliza ampliamente en ingeniería de fiabilidad, modelos de colas, modelización de precipitaciones y estadística bayesiana. La calculadora emplea la parametrización por escala (forma \(a\), escala \(b\)), no la parametrización por tasa.
Los datos que debes introducir
- Selección de función: elige qué curva calcular: densidad \(f\), acumulada inferior \(P\) o acumulada superior \(Q\).
- Parámetro de forma \(a\): debe ser positivo; controla la asimetría y el pico de la curva.
- Parámetro de escala \(b\): debe ser positivo; estira la distribución a lo largo del eje x (media = \(a\cdot b\)).
- Valor inicial de x: el punto de partida de la rejilla.
- Incremento (paso) de x: la separación entre valores sucesivos de x.
- Número de repeticiones (puntos): cuántos puntos de la rejilla generar (con un máximo de 10.000).
Si \(a\) o \(b\) no son positivos, se ajustan a un valor diminuto; un paso ≤ 0 se reemplaza por 0,1; y el número de puntos se fuerza al rango de 1 a 10.000.
La fórmula
La función de densidad de probabilidad es:
$$f(x) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{b^{\,a}\,\Gamma(a)}$$La acumulada inferior \(P(x)\) es la función gamma incompleta regularizada \(P(a, x/b)\), que se calcula mediante una expansión en serie cuando \(x/b < a+1\) y mediante una fracción continua en caso contrario. La acumulada superior o de supervivencia es \(Q(x) = 1 - P(x)\). La función gamma \(\Gamma(a)\) se obtiene a partir de la aproximación de Lanczos en forma logarítmica para garantizar la estabilidad numérica.
Ejemplo resuelto
Supongamos \(a = 2\), \(b = 1\), x inicial = 0, paso = 1 y 4 puntos (\(x = 0, 1, 2, 3\)). La densidad en \(x = 2\) es $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0{,}1353}{1} = 0{,}2707.$$ La acumulada inferior en \(x = 2\) es \(P(2, 2) \approx 0{,}5940\), de modo que la probabilidad de supervivencia es \(Q(2) \approx 0{,}4060\). Cada punto de la rejilla devuelve estos valores, listos para representarse como una curva suave.
Preguntas frecuentes
¿Usa escala o tasa? Usa el parámetro de escala \(b\). Si en su lugar dispones de una tasa \(\lambda\), establece \(b = 1/\lambda\).
¿Cuál es la diferencia entre P y Q? \(P(x)\) es la probabilidad de que la variable sea como máximo \(x\) (acumulada por la izquierda); \(Q(x) = 1 - P(x)\) es la probabilidad de superar \(x\), a menudo llamada función de supervivencia.
¿Por qué a y b deben ser positivos? La distribución gamma solo está definida para una forma y una escala positivas. Los valores no positivos se sustituyen por un valor casi nulo para evitar errores, pero conviene introducir números positivos válidos para obtener resultados con sentido.
