这个计算器能做什么
伽马分布图形计算器会在一组 x 取值上逐点计算伽马分布，并在每个点返回三个相互关联的结果：概率密度 f(x)、下侧累积概率 P(x)，以及上侧累积概率（生存函数）Q(x)。伽马分布是定义在 x > 0 上的连续分布，在可靠性工程、排队论模型、降雨量建模和贝叶斯统计中应用广泛。需要注意的是，本计算器采用尺度参数化方式（形状参数 a、尺度参数 b），而非速率参数化方式。
需要输入的内容
- 函数选择 —— 选择要计算的曲线：概率密度 f、下侧累积 P，或上侧累积 Q。
- 形状参数 \(a\) —— 必须为正数，决定曲线的偏度和峰形。
- 尺度参数 \(b\) —— 必须为正数，沿 x 轴拉伸分布（均值 \(= a\cdot b\)）。
- x 的初始值 —— 网格的起始点。
- x 的步长（增量） —— 相邻 x 取值之间的间隔。
- 重复次数（点数） —— 要生成的网格点数量（上限为 10,000）。
如果 \(a\) 或 \(b\) 为非正数，将被强制设为一个极小值；若步长 ≤ 0，则默认取 0.1；点数则会被限制在 1 到 10,000 之间。
计算公式
概率密度函数为：
$$f(x) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{b^{\,a}\,\Gamma(a)}$$下侧累积概率 P(x) 即正则化不完全伽马函数 \(P(a, x/b)\)：当 \(x/b < a+1\) 时通过级数展开计算，否则采用连分数法计算。上侧累积概率（生存函数）为 \(Q(x) = 1 - P(x)\)。伽马函数 \(\Gamma(a)\) 采用对数形式的 Lanczos 近似计算，以保证数值稳定性。
实例演示
假设 \(a = 2\)，\(b = 1\)，起始 \(x = 0\)，步长 \(= 1\)，共 4 个点（\(x = 0, 1, 2, 3\)）。在 \(x = 2\) 处的概率密度为 $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0.1353}{1} = 0.2707.$$ 在 \(x = 2\) 处的下侧累积概率为 \(P(2, 2) \approx 0.5940\)，因此生存概率 \(Q(2) \approx 0.4060\)。每个网格点都会返回这三个值，可直接绘制成一条平滑曲线。
常见问题
用的是尺度参数还是速率参数？ 本计算器使用尺度参数 \(b\)。如果你手中是速率 \(\lambda\)，请令 \(b = 1/\lambda\)。
P 和 Q 有什么区别？ \(P(x)\) 表示变量不超过 x 的概率（从左侧开始累积）；\(Q(x) = 1 - P(x)\) 表示变量超过 x 的概率，通常称为生存函数。
为什么 a 和 b 必须为正数？ 伽马分布只在形状和尺度均为正数时才有定义。为避免出错，非正数输入会被替换为接近零的值，但若想得到有意义的结果，仍应输入有效的正数。
