这个计算器能做什么
本工具可针对任意自由度 \(\nu > 0\) 计算并绘制学生t分布（Student's t-distribution，又称 t 分布）。你可以从三种结果中任选其一：概率密度 \(f(x,\nu)\)、下侧累积概率 \(P(x,\nu)\)（即累积分布函数 CDF），或上侧累积概率 \(Q(x,\nu) = 1 - P\)。计算器会在你设定的取值范围内生成一系列 (x, 数值) 数据点，并据此绘制折线图。
使用方法
先选择要计算的函数（密度、下侧或上侧累积概率），再输入自由度 \(\nu\)。接着设定 x 的起始值、相邻两点之间的步长（增量），以及重复次数（即要生成多少个数据点）。各数据点按 \(x_k = \text{起始}x + k\cdot\text{步长}\) 计算，其中 \(k = 0..\text{重复次数}-1\)。采用默认值（起始 \(-5\)、步长 \(0.1\)、共 101 个点）时，x 会从 \(-5\) 取到 \(+5\)。
公式说明
概率密度为 $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$。为了在 \(\nu\) 较大时保持数值稳定，我们通过对数伽马函数（log-gamma）来计算其中的伽马因子。累积概率则借助正则化不完全贝塔函数 \(I_z(\nu/2, 1/2)\)，其中 \(z = \nu/(\nu+x^2)\)：当 \(x \ge 0\) 时，\(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\)；当 \(x < 0\) 时，\(P = \tfrac{1}{2}I_z\)。由对称性可知 \(P(0,\nu) = 0.5\)。
示例演算
当 \(\nu = 2\)、\(x = 0\) 时求密度：\((1 + 0/2)^{-1.5} = 1\)，且 \(B(1/2, 1) = 2\)，因此 $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0.353553$$。同样当 \(\nu = 2\)、\(x = 0\) 时求下侧累积概率，由于分布关于零点对称，故 \(P(0,2) = 0.5\)，\(Q(0,2) = 0.5\)。
常见问题
当 \(\nu\) 不断增大时会怎样？ t 分布会逐渐逼近标准正态分布 \(N(0,1)\)。例如 \(f(0,\nu)\) 会趋向 \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894\)。
步长可以是负数吗？ 可以。负步长会让 x 逐点递减；步长为零则会反复取同一个 x 值。
为什么 \(\nu\) 必须为正数？ 因为公式中的 \(\sqrt{\nu}\) 和 \(\Gamma(\nu/2)\) 都要求 \(\nu > 0\)，对于非正数该分布没有定义。
