這個計算器的功能
本工具可針對任意自由度 \(\nu > 0\) 計算並繪製學生t分配（Student's t-distribution）。你可以從三種量值中擇一：機率密度 f(x,ν)、下累積機率 P(x,ν)（即 CDF），或上累積機率 Q(x,ν) = 1 − P。計算器會在你設定的範圍內建立一組 (x, 數值) 對應表，並據此繪製折線圖。
使用方法
先選擇函數（密度、下累積或上累積），輸入自由度 \(\nu\)，接著設定起始的 x 值、相鄰兩點之間的增量（步長），以及重複次數（要產生多少個點）。各點為 \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\)，其中 \(k = 0..\text{iterations}-1\)。採用預設值（起始 \(-5\)、步長 \(0.1\)、共 101 點）時，x 會從 \(-5\) 跑到 \(+5\)。
公式說明
機率密度為 $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$。為了在 \(\nu\) 很大時仍保持數值穩定，我們透過對數伽瑪函數（log-gamma）來計算這些伽瑪因子。累積機率則使用正規化不完全 beta 函數 \(I_z(\nu/2, 1/2)\)，其中 \(z = \nu/(\nu+x^{2})\)：當 \(x \ge 0\) 時，\(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\)；當 \(x < 0\) 時，\(P = \tfrac{1}{2}I_z\)。由對稱性可知 \(P(0,\nu) = 0.5\)。
實例演算
以密度、\(\nu = 2\)、\(x = 0\) 為例：\((1 + 0/2)^{-1.5} = 1\)，且 \(B(1/2, 1) = 2\)，因此 $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0.353553$$。再以下累積、\(\nu = 2\)、\(x = 0\) 為例，由於分配對稱，故 \(P(0,2) = 0.5\)、\(Q(0,2) = 0.5\)。
常見問題
當 \(\nu\) 越來越大時會發生什麼？t 分配會逐漸趨近標準常態分配 \(N(0,1)\)；例如 \(f(0,\nu)\) 會趨近 \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894\)。
增量可以是負數嗎？可以。負步長會讓 x 遞減；步長為零則會重複同一個 x 值。
為什麼 \(\nu\) 必須是正數？因為 \(\sqrt{\nu}\) 與 \(\Gamma(\nu/2)\) 這兩個因子都要求 \(\nu > 0\)；非正值對此分配而言並無定義。
