Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, \(\nu > 0\) olan herhangi bir serbestlik derecesi için Student t dağılımını hesaplar ve grafiğe döker. Üç değerden birini seçebilirsiniz: olasılık yoğunluğu \(f(x,\nu)\), alt kümülatif olasılık \(P(x,\nu)\) (yani CDF) ya da üst kümülatif olasılık \(Q(x,\nu) = 1 - P\). Hesaplayıcı, belirlediğiniz aralıkta (x, değer) ikililerinden oluşan bir tablo oluşturur ve bunları bir çizgi grafiğine aktarır.
Nasıl kullanılır?
Önce fonksiyonu seçin (yoğunluk, alt veya üst kümülatif). Ardından serbestlik derecesi \(\nu\) değerini girin. Sonra başlangıç x değerini, ardışık noktalar arasındaki artış miktarını (adım) ve tekrar sayısını (kaç nokta üretileceğini) belirleyin. Noktalar \(x_k = \text{başlangıçX} + k\cdot\text{adımX}\) şeklinde, \(k = 0..\text{tekrar}-1\) için hesaplanır. Varsayılan değerlerle (başlangıç \(-5\), adım \(0.1\), 101 nokta) x, \(-5\) ile \(+5\) arasında ilerler.
Formülün açıklaması
Yoğunluk şöyle tanımlanır:
$$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$Büyük \(\nu\) değerlerinde sayısal kararlılığı korumak için gamma çarpanlarını log-gamma fonksiyonu üzerinden hesaplarız. Kümülatif olasılık ise \(z = \nu/(\nu+x^{2})\) ile düzenlenmiş eksik beta fonksiyonu \(I_z(\nu/2, 1/2)\) kullanır: \(x \ge 0\) için \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\); \(x < 0\) için \(P = \tfrac{1}{2}I_z\). Simetri nedeniyle \(P(0,\nu) = 0.5\) olur.
Çözümlü örnek
\(\nu = 2\) ve \(x = 0\) için yoğunluk: \((1 + 0/2)^{-1.5} = 1\) ve \(B(1/2, 1) = 2\) olduğundan
$$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0.353553$$bulunur. Aynı şekilde \(\nu = 2\) ve \(x = 0\) için alt kümülatif değere bakarsak, dağılım simetrik olduğundan \(P(0,2) = 0.5\) ve \(Q(0,2) = 0.5\) olur.
Sıkça sorulan sorular
\(\nu\) büyüdükçe ne olur? t dağılımı, standart normal dağılıma \(N(0,1)\) yaklaşır; örneğin \(f(0,\nu)\) değeri \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894\) değerine yönelir.
Artış miktarı negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir adım x'in azalmasını sağlar; sıfır adım ise aynı x değerini tekrar eder.
\(\nu\) neden yalnızca pozitif olabiliyor? \(\sqrt{\nu}\) ve \(\Gamma(\nu/2)\) çarpanları \(\nu > 0\) koşulunu gerektirir; pozitif olmayan değerler için dağılım tanımsızdır.
