Cauchy dağılımı nedir?
Lorentz dağılımı olarak da bilinen Cauchy dağılımı; bir konum parametresi a (medyan ve tepe noktasının konumu) ile bir ölçek parametresi b > 0 (yarı maksimumdaki yarı genişlik) ile tanımlanan sürekli bir olasılık dağılımıdır. Ağır kuyruklarıyla ünlüdür: ne sonlu bir ortalaması ne de sonlu bir varyansı vardır. Bu hesaplama aracı, dağılımı bir x dizisi boyunca hesaplayarak (x, değer) çiftlerinden oluşan, grafiğe hazır bir tablo elde etmenizi sağlar.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Önce bir fonksiyon seçin: olasılık yoğunluğu f, alt kümülatif olasılık P ya da üst kümülatif olasılık Q. Ardından konum a ile ölçek b değerini girin (b pozitif olmalıdır). Sonra x dizisini bir başlangıç değeri, bir artış adımı ve nokta sayısıyla tanımlayın. k. x değeri \(x_k = xInitial + k \cdot xStep\) formülüyle bulunur (k = 0'dan count-1'e kadar). Varsayılan ayarlar x'i -5 ile +5 arasında 0,1'lik adımlarla tarar (101 nokta).
Formüller
z = (x - a) / b olsun. Yoğunluk $$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\text{Ölçek } b}{\left(x - \text{Konum } a\right)^2 + \text{Ölçek } b^2}$$ şeklindedir; bu da \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\) ifadesine eşittir. Alt kümülatif dağılım $$P(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Konum } a}{\text{Ölçek } b}\right)$$ üst (sağkalım) fonksiyonu ise $$Q(x) = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Konum } a}{\text{Ölçek } b}\right)$$ olur. arctan değeri \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) aralığında kaldığından, hem P hem de Q her zaman kesin olarak 0 ile 1 arasında kalır.
Çözümlü örnek
a = 0, b = 0,7 için yoğunluğu x = 1 noktasında hesaplayalım: \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0{,}49 = 1{,}49\) dolayısıyla \(f = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{0{,}7}{1{,}49} \approx 0{,}14954\). Aynı noktadaki alt kümülatif için \(\arctan(1/0{,}7) = 0{,}96007\) olduğundan \(P = 0{,}5 + \frac{0{,}96007}{\pi} \approx 0{,}80559\) ve \(Q = 1 - 0{,}80559 = 0{,}19441\) bulunur. Tepe noktasında, yani x = a iken \(f = \frac{1}{\pi b}\) ve P = Q = 0,5 olur.
Sıkça sorulan sorular
b neden pozitif olmalı? Sıfır veya negatif bir ölçek, yoğunluğu ve birikimli dağılımı tanımsız hale getirir (sıfır ya da negatif genişlik), bu nedenle hesaplama aracı b değerini çok küçük pozitif bir değere sabitler.
Neden ortalama gösterilmiyor? Cauchy dağılımının ağır kuyrukları nedeniyle ortalaması ve varyansı tanımsızdır; bu araç yalnızca nokta bazlı yoğunluğu ve kuyruk olasılıklarını verir.
"Değer" sütunu nedir? Seçtiğiniz fonksiyonun (f, P veya Q) her bir x noktasındaki sonucudur; x'i yatay eksene koyarak doğrudan grafiğe aktarabilirsiniz.
