ما هو توزيع كوشي؟
توزيع كوشي، المعروف أيضاً بتوزيع لورنتز، هو توزيع احتمالي متصل يُعرَّف بمعامل موقع a (وهو الوسيط وموضع القمة) ومعامل مقياس b > 0 (نصف العرض عند نصف القيمة العظمى). ويشتهر هذا التوزيع بذيوله الثقيلة؛ إذ لا يملك وسطاً حسابياً منتهياً ولا تبايناً منتهياً. تتيح لك هذه الحاسبة تقييم التوزيع عبر سلسلة من قيم x، لتُكوِّن جدولاً من أزواج (x، القيمة) جاهزاً للرسم البياني.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر الدالة المطلوبة: دالة الكثافة الاحتمالية f، أو الاحتمال التراكمي السفلي P، أو الاحتمال التراكمي العلوي Q. أدخِل معامل الموقع a ومعامل المقياس b (يجب أن يكون موجباً). ثم حدِّد سلسلة قيم x بإدخال قيمة ابتدائية، ومقدار الخطوة (الزيادة)، وعدد النقاط. تُحسب القيمة رقم k وفق العلاقة \(x_k = x_{\text{Initial}} + k \cdot x_{\text{Step}}\) حيث k من 0 إلى count-1. تمسح القيم الافتراضية المدى من -5 إلى +5 بخطوات مقدارها 0.1 (101 نقطة).
الصيغ الرياضية
لِنَفرِض أن \(z = (x - a) / b\). تُعطى دالة الكثافة بالصيغة
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\text{Scale } b}{\left(x - \text{Location } a\right)^2 + \text{Scale } b^2}$$أي ما يعادل \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\). أما دالة التوزيع التراكمية السفلية فهي
$$P(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$ودالة البقاء (العلوية) هي
$$Q(x) = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$وبما أن قيمة \(\arctan\) تبقى محصورة ضمن المجال \((-\pi/2, \pi/2)\)، فإن كلاً من P وQ يظل محصوراً تماماً بين 0 و1.
مثال محلول
لِنأخُذ \(a = 0\) وb = 0.7، ونحسب الكثافة عند x = 1: حيث \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0.49 = 1.49\)، ومنه \(f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0.7}{1.49}\right) \approx 0.14954\). ولحساب الاحتمال التراكمي السفلي عند النقطة نفسها: \(\arctan(1/0.7) = 0.96007\)، إذن \(P = 0.5 + 0.96007/\pi \approx 0.80559\)، وبالتالي \(Q = 1 - 0.80559 = 0.19441\). وعند القمة \(x = a\) تكون \(f = \frac{1}{\pi b}\) ويكون \(P = Q = 0.5\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون b موجباً؟ القيمة غير الموجبة للمقياس تجعل دالة الكثافة والدالة التراكمية غير معرَّفتين (عرض صفري أو سالب)، لذا تضبط الحاسبة قيمة b عند أصغر قيمة موجبة ممكنة.
لماذا لا يُعرض الوسط الحسابي؟ توزيع كوشي يملك وسطاً حسابياً وتبايناً غير معرَّفين بسبب ذيوله الثقيلة؛ لذا تقتصر هذه الأداة على عرض الكثافة عند كل نقطة واحتمالات الذيول.
ما المقصود بعمود "القيمة"؟ هو قيمة الدالة المختارة (f أو P أو Q) محسوبةً عند كل قيمة x، وهي جاهزة للرسم البياني مع وضع x على المحور الأفقي.
