ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة المئين (الذي يُسمى أيضًا الكمّيّة أو نقطة النسبة المئوية) في توزيع كوشي، المعروف كذلك بتوزيع لورنتز. عند إعطاء احتمال تراكمي ومعاملَي التوزيع — وهما الموقع x0 (الوسيط وموضع الذروة) والمقياس γ (غاما، أي نصف العرض عند نصف الارتفاع الأقصى) — تُعيد لك القيمة x التي يتحقق عندها ذلك الاحتمال. هذه عملية رياضية بحتة وتنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
كيفية الاستخدام
اختر أولًا نمط التراكم. حدّد سفلي إذا كان احتمالك P احتمالًا من الطرف الأيسر، أي \(P = \text{احتمال}(X \le x)\). وحدّد علوي إذا كان احتمالك Q احتمالًا من الطرف الأيمن، أي \(Q = \text{احتمال}(X \ge x)\). بعد ذلك أدخل الاحتمال على هيئة كسر يقع تمامًا بين 0 و1 (مثلًا 0.95 للمئين الخامس والتسعين)، ثم معامل الموقع x0، ومعامل المقياس γ (الذي يجب أن يكون موجبًا). تُعيد الحاسبة قيمة x المقابلة.
شرح الصيغة
دالة التوزيع التراكمي لتوزيع كوشي هي \(F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\tfrac{x - x_0}{\gamma}\right)\). وبعكس هذه الدالة نحصل على دالة الكمّيّة:
$$x = x_0 + \gamma \cdot \tan\!\left(\pi\left(P - \tfrac{1}{2}\right)\right)$$حيث P هو الاحتمال التراكمي السفلي. أما إذا أدخلت احتمالًا علويًا Q، فتقوم الأداة أولًا بتحويله عبر العلاقة \(P = 1 - Q\). عند \(P = 0.5\) تكون النتيجة هي x0 بالضبط؛ وكلما اقترب P من 0 أو 1 تتباعد النتيجة نحو سالب أو موجب اللانهاية، بما يعكس الذيول الثقيلة الشهيرة لتوزيع كوشي (فليس له متوسط ولا تباين منتهيان).
مثال محلول
لإيجاد المئين الخامس والتسعين السفلي عندما يكون \(x_0 = 0\) و\(\gamma = 1\): لدينا \(P = 0.95\)، إذًا
$$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0.45) = \tan(1.41372\ \text{راديان}) \approx 6.31375$$وللتحقق: \(F(6.31375) = 0.5 + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan(6.31375) = 0.5 + 0.45 = 0.95\). وعندما يكون \(x_0 = 2\) و\(\gamma = 3\) و\(P = 0.75\):
$$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0.25) = 2 + 3\cdot 1 = 5.0$$الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين النمط السفلي والنمط العلوي؟ إنهما متكاملان: فاحتمال علوي مقداره 0.05 يعطي القيمة x نفسها التي يعطيها احتمال سفلي مقداره 0.95.
لماذا يجب أن يقع الاحتمال تمامًا بين 0 و1؟ لأنه عند 0 أو 1 بالضبط تكون الكمّيّة موجب أو سالب اللانهاية، وهي قيمة لا حدّ منتهٍ لها.
هل يمكن أن يكون المقياس سالبًا؟ لا. يجب أن يكون المقياس γ أكبر من 0؛ فهو يمثل نصف عرض، والقيمة السالبة غير معرّفة.
