ما هو المعكوس النمطي؟
المعكوس الضربي النمطي لعدد صحيح a بالنسبة إلى المقياس m هو عدد صحيح x يحقق المعادلة \((a \cdot x) \bmod m = 1\). وهو بمثابة عملية "القسمة" في الحساب النمطي (الحساب بالباقي)، ويُعدّ ركيزة أساسية في نظرية الأعداد، ونظام التشفير RSA، والعديد من خوارزميات نظرية الترميز. تعتمد هذه الحاسبة على خوارزمية إقليدس الموسّعة لإيجاد قيمة x.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد a والمقياس m (بحيث يكون m ≥ 2). تُرجع الأداة أصغر معكوس غير سالب x ضمن المجال 0 ≤ x < m، وتؤكّد ما إذا كان المعكوس موجودًا، كما تعرض القاسم المشترك الأكبر gcd(a, m). فإذا كان gcd(a, m) ≠ 1 فلا وجود للمعكوس، وتظهر النتيجة على هيئة "لا يوجد".
شرح الصيغة الرياضية
لا يوجد معكوس إلا عندما يكون \(\gcd(a, m) = 1\)، أي عندما يكون العددان a وm أوّليين فيما بينهما (متباينان). تجد خوارزمية إقليدس الموسّعة عددين صحيحين x وy يحقّقان العلاقة $$a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m)$$ وعندما يكون القاسم المشترك الأكبر يساوي 1، فإن أخذ x بالباقي بالنسبة إلى m يعطينا المعكوس المطلوب. وتُضبط النتيجة لتكون قيمة موجبة بإضافة m إليها إذا كانت سالبة.
مثال تطبيقي محلول
لنوجد معكوس العدد 3 بالنسبة إلى المقياس 11. نبحث عن x بحيث يكون \(3x \equiv 1 \pmod{11}\). وبالتجربة نجد أن $$3 \times 4 = 12 = 11 + 1$$ إذن \(12 \bmod 11 = 1\). وبالتالي فإن x = 4. وتُرجع خوارزمية إقليدس الموسّعة القيمة نفسها، كما أن \(\gcd(3, 11) = 1\)، وهو ما يؤكّد وجود المعكوس.
الأسئلة الشائعة
متى لا يوجد معكوس؟ عندما يشترك العددان a وm في عامل مشترك أكبر من 1 — على سبيل المثال العدد 4 بالنسبة إلى المقياس 6 (gcd = 2) ليس له معكوس.
هل يجب أن يكون m عددًا أوّليًا؟ لا. يمكن أن يكون m أي عدد صحيح أكبر من أو يساوي 2؛ فالمهم فقط أن يكون a وm أوّليين فيما بينهما.
ضمن أي مجال تقع الإجابة؟ يُعطى المعكوس على هيئة أصغر باقٍ غير سالب، أي بين 0 وm − 1.
