मॉड्यूलर इन्वर्स क्या होता है?
किसी पूर्णांक a का मॉड्यूलो m के सापेक्ष मॉड्यूलर गुणात्मक प्रतिलोम वह पूर्णांक x होता है जिसके लिए \((a \cdot x) \bmod m = 1\) सही हो। आसान शब्दों में, यह मॉड्यूलर अंकगणित में "भाग" करने का तरीका है और यह संख्या सिद्धांत (number theory), RSA क्रिप्टोसिस्टम तथा कोडिंग थ्योरी के कई एल्गोरिदम का आधार है। यह कैलकुलेटर एक्सटेंडेड यूक्लिडियन एल्गोरिदम की मदद से x की गणना करता है।
$$\text{a} \cdot x \equiv 1 \pmod{\text{m}} \quad\Longrightarrow\quad x = \text{a}^{-1} \bmod \text{m}$$
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
संख्या a और मॉड्यूलस m दर्ज करें (जहाँ \(m \geq 2\) हो)। यह टूल \(0 \leq x < m\) की सीमा में सबसे छोटा अऋणात्मक प्रतिलोम x लौटाता है, यह बताता है कि प्रतिलोम मौजूद है या नहीं, और साथ में \(\gcd(a, m)\) भी दिखाता है। अगर \(\gcd(a, m) \neq 1\) हो, तो कोई प्रतिलोम मौजूद नहीं होता और परिणाम "None" के रूप में दिखाया जाता है।
सूत्र को समझें
प्रतिलोम केवल तभी मौजूद होता है जब \(\gcd(a, m) = 1\) हो, यानी a और m सहअभाज्य (coprime) हों। एक्सटेंडेड यूक्लिडियन एल्गोरिदम ऐसे पूर्णांक x और y खोजता है जो \(a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m)\) को संतुष्ट करते हैं। जब gcd 1 हो, तो x को मॉड्यूलो m से घटाकर (reduce करके) प्रतिलोम मिल जाता है। अगर परिणाम ऋणात्मक आए, तो उसमें m जोड़कर उसे धनात्मक मान में बदल दिया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
3 का मॉड्यूलो 11 के सापेक्ष प्रतिलोम निकालिए। हमें ऐसा x चाहिए जहाँ \(3x \equiv 1 \pmod{11}\) हो। जाँच करने पर, \(3 \times 4 = 12 = 11 + 1\), यानी \(12 \bmod 11 = 1\)। इसलिए \(x = 4\)। एक्सटेंडेड यूक्लिडियन एल्गोरिदम भी यही मान देता है, और \(\gcd(3, 11) = 1\) है, जिससे पुष्टि होती है कि प्रतिलोम मौजूद है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
प्रतिलोम कब मौजूद नहीं होता? जब a और m में 1 से बड़ा कोई सार्व गुणनखंड (common factor) हो — उदाहरण के लिए 4 मॉड्यूलो 6 (\(\gcd = 2\)) का कोई प्रतिलोम नहीं होता।
क्या m का अभाज्य (prime) होना ज़रूरी है? नहीं। m कोई भी पूर्णांक \(\geq 2\) हो सकता है; मायने सिर्फ़ इस बात की रखती है कि a और m सहअभाज्य हों।
उत्तर किस सीमा में आता है? प्रतिलोम सबसे छोटे अऋणात्मक शेषफल के रूप में दिया जाता है, यानी 0 और \(m - 1\) के बीच।
