कोशी वितरण क्या है?
कोशी वितरण, जिसे लोरेंट्ज़ वितरण भी कहते हैं, एक सतत प्रायिकता वितरण है। इसे दो पैरामीटर परिभाषित करते हैं: एक स्थान पैरामीटर a (माध्यिका और शिखर की स्थिति) और एक स्केल पैरामीटर b > 0 (अधिकतम के आधे पर आधी-चौड़ाई, यानी half-width at half-maximum)। यह वितरण अपनी भारी पूँछों (heavy tails) के लिए प्रसिद्ध है: इसका न तो कोई सीमित माध्य (mean) होता है और न ही सीमित प्रसरण (variance)। यह कैलकुलेटर x मानों की एक श्रेणी पर वितरण की गणना करता है, ताकि आप (x, मान) जोड़ों की एक ऐसी तालिका बना सकें जो सीधे ग्राफ के लिए तैयार हो।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले एक फ़ंक्शन चुनें: प्रायिकता घनत्व f, निचली संचयी प्रायिकता P, या ऊपरी संचयी प्रायिकता Q। इसके बाद स्थान a और स्केल b (जो धनात्मक होना चाहिए) दर्ज करें। फिर x की श्रेणी को एक आरंभिक मान, एक चरण-वृद्धि (step) और बिंदुओं की संख्या से परिभाषित करें। k-वाँ x इस सूत्र से मिलता है: \(x_k = x_{\text{Initial}} + k \cdot x_{\text{Step}}\), जहाँ k = 0 से count-1 तक चलता है। डिफ़ॉल्ट सेटिंग में x को -5 से +5 तक 0.1 के चरणों में (कुल 101 बिंदु) चलाया जाता है।
सूत्र
मान लें \(z = (x - a) / b\)। घनत्व है $$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\text{Scale } b}{\left(x - \text{Location } a\right)^2 + \text{Scale } b^2}$$ जो \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\) के बराबर है। निचला संचयी वितरण है $$P(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$ और ऊपरी (उत्तरजीविता) फ़ंक्शन है $$Q(x) = 1 - P(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$ चूँकि arctan हमेशा \((-\pi/2, \pi/2)\) के भीतर रहता है, इसलिए P और Q दोनों कड़ाई से 0 और 1 के बीच ही रहते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a = 0\), \(b = 0.7\) और \(x = 1\) पर घनत्व निकालना है: \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0.49 = 1.49\), इसलिए \(f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0.7}{1.49}\right) \approx 0.14954\)। इसी बिंदु पर निचले संचयी के लिए, \(\arctan(1/0.7) = 0.96007\), अतः \(P = 0.5 + 0.96007/\pi \approx 0.80559\), और \(Q = 1 - 0.80559 = 0.19441\)। शिखर पर, यानी \(x = a\) पर, \(f = 1/(\pi b)\) और \(P = Q = 0.5\) होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
b का धनात्मक होना ज़रूरी क्यों है? शून्य या ऋणात्मक स्केल पर घनत्व और CDF अपरिभाषित हो जाते हैं (चौड़ाई शून्य या ऋणात्मक हो जाती है), इसलिए कैलकुलेटर b को एक बहुत छोटे धनात्मक मान तक सीमित कर देता है।
माध्य (mean) क्यों नहीं दिखाया जाता? भारी पूँछों के कारण कोशी वितरण का माध्य और प्रसरण अपरिभाषित होते हैं; यह उपकरण केवल बिंदुवार घनत्व और पूँछ-प्रायिकताएँ ही दिखाता है।
"मान" (value) वाला कॉलम क्या है? यह आपके द्वारा चुना गया फ़ंक्शन (f, P या Q) है, जिसकी गणना हर x पर की जाती है — इसे क्षैतिज अक्ष पर x रखकर सीधे ग्राफ में दिखाया जा सकता है।
