什麼是柯西分佈？
柯西分佈又稱勞侖茲分佈，是一種連續型機率分佈，由位置參數 a（即中位數與峰值所在位置）和尺度參數 b > 0（半高全寬的一半）所定義。它最著名的特性就是「厚尾」：既沒有有限的平均數，也沒有有限的變異數。本計算器會在一連串 x 值上逐點計算分佈值，讓你輕鬆建立一張可直接繪圖的 (x, 數值) 對照表。
計算器使用說明
先選擇要計算的函數：機率密度 f、下側累積機率 P，或上側累積機率 Q。接著輸入位置參數 a 與尺度參數 b（必須為正數）。然後設定 x 數列：起始值、每次遞增的步長，以及點數。第 k 個 x 值為 x_k = xInitial + k * xStep（k 從 0 到 count-1）。預設值會從 -5 掃描到 +5，步長為 0.1，共 101 個點。
公式說明
令 \(z = (x - a) / b\)。機率密度為 $$f = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{b}{(x-a)^2 + b^2}$$ 亦可寫成 \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\)。下側累積分佈函數為 $$P = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(z)$$ 上側（存活）函數則為 $$Q = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan(z)$$ 由於 \(\arctan\) 的值始終落在 \((-\pi/2, \pi/2)\) 之間，P 與 Q 都會嚴格介於 0 與 1 之間。
實例演練
設 \(a = 0\)、\(b = 0.7\)，計算 \(x = 1\) 時的密度：\((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0.49 = 1.49\)，因此 $$f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0.7}{1.49}\right) \approx 0.14954$$ 同一點的下側累積機率：\(\arctan(1/0.7) = 0.96007\)，故 \(P = 0.5 + \frac{0.96007}{\pi} \approx 0.80559\)，而 \(Q = 1 - 0.80559 = 0.19441\)。在峰值 \(x = a\) 處，\(f = \frac{1}{\pi b}\)，且 \(P = Q = 0.5\)。
常見問題
為什麼 b 必須為正數？若尺度參數不是正數，密度與 CDF 都會失去定義（等於零寬或負寬），因此計算器會將 b 限制為一個極小的正值。
為什麼沒有顯示平均數？柯西分佈因為厚尾的特性，其平均數與變異數皆未定義；本工具只提供各點的密度值與尾端機率。
「數值」這一欄代表什麼？它是你所選函數（f、P 或 Q）在每個 x 上的計算結果，可直接以 x 為橫軸繪製圖形。
