Qu'est-ce que la loi de Cauchy ?
La loi de Cauchy, également appelée loi de Lorentz, est une loi de probabilité continue définie par un paramètre de position a (la médiane et le sommet de la courbe) et un paramètre d'échelle b > 0 (la demi-largeur à mi-hauteur). Elle est célèbre pour ses queues épaisses : elle ne possède ni espérance finie ni variance finie. Ce calculateur évalue la loi sur une suite de valeurs x afin de construire un tableau de couples (x, valeur) directement exploitable pour tracer une courbe.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez d'abord une fonction : densité de probabilité f, probabilité cumulée inférieure P ou probabilité cumulée supérieure Q. Saisissez la position a et l'échelle b (qui doit être strictement positive). Définissez ensuite la suite de valeurs x à l'aide d'une valeur initiale, d'un pas d'incrément et du nombre de points souhaité. Le k-ième x vaut \(x_k = x_{\text{Initial}} + k \cdot x_{\text{Step}}\) pour k allant de 0 à count-1. Par défaut, x balaie l'intervalle de -5 à +5 par pas de 0,1 (soit 101 points).
Les formules
Posons \(z = (x - a) / b\). La densité s'écrit
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\text{Scale } b}{\left(x - \text{Location } a\right)^2 + \text{Scale } b^2}$$ce qui équivaut à \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\). La fonction de répartition (cumulée inférieure) vaut
$$P(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$et la fonction de survie (cumulée supérieure) vaut
$$Q(x) = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$Comme arctan reste comprise dans l'intervalle \((-\pi/2, \pi/2)\), P et Q demeurent strictement compris entre 0 et 1.
Exemple détaillé
Avec \(a = 0\) et \(b = 0{,}7\), évaluons la densité en \(x = 1\) : \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0{,}49 = 1{,}49\), d'où \(f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0{,}7}{1{,}49}\right) \approx 0{,}14954\). Pour la cumulée inférieure au même point, \(\arctan(1/0{,}7) = 0{,}96007\), donc \(P = 0{,}5 + 0{,}96007/\pi \approx 0{,}80559\), et \(Q = 1 - 0{,}80559 = 0{,}19441\). Au sommet \(x = a\), on a \(f = \frac{1}{\pi b}\) et \(P = Q = 0{,}5\).
FAQ
Pourquoi b doit-il être positif ? Une échelle nulle ou négative rendrait la densité et la fonction de répartition indéfinies (largeur nulle ou négative). Le calculateur ramène donc b à une toute petite valeur positive.
Pourquoi l'espérance n'est-elle pas affichée ? La loi de Cauchy n'a ni espérance ni variance définies, à cause de ses queues épaisses ; cet outil se limite à la densité ponctuelle et aux probabilités de queue.
Que représente la colonne « valeur » ? C'est la fonction choisie (f, P ou Q) évaluée pour chaque x, prête à être tracée avec x en abscisse.
