À quoi sert cette calculatrice
Cet outil évalue et trace la loi de Student (ou loi t) pour n'importe quel nombre de degrés de liberté \(\nu > 0\). Vous avez le choix entre trois quantités : la densité de probabilité \(f(x,\nu)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(x,\nu)\) (la fonction de répartition), ou la probabilité cumulée supérieure \(Q(x,\nu) = 1 - P\). La calculatrice construit un tableau de couples (x, valeur) sur la plage que vous définissez, puis les reporte sur une courbe.
Mode d'emploi
Choisissez la fonction (densité, cumulée inférieure ou cumulée supérieure). Saisissez le nombre de degrés de liberté \(\nu\). Indiquez ensuite la valeur de départ de x, le pas (l'incrément entre deux points successifs) et le nombre de répétitions (combien de points générer). Les points sont définis par \(x_k = x_{\text{Départ}} + k\cdot\text{pas}\), pour \(k = 0\) à \(\text{itérations}-1\). Avec les valeurs par défaut (départ \(-5\), pas \(0{,}1\), 101 points), x parcourt l'intervalle de \(-5\) à \(+5\).
La formule expliquée
La densité s'écrit $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}.$$ Pour rester stable numériquement lorsque \(\nu\) est grand, on évalue les facteurs gamma via la fonction log-gamma. La probabilité cumulée fait appel à la fonction bêta incomplète régularisée \(I_z(\nu/2, 1/2)\) avec \(z = \frac{\nu}{\nu+x^{2}}\) : pour \(x \ge 0\), \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\) ; pour \(x < 0\), \(P = \tfrac{1}{2}I_z\). Par symétrie, \(P(0,\nu) = 0{,}5\).
Exemple résolu
Pour la densité avec \(\nu = 2\) en \(x = 0\) : \((1 + 0/2)^{-1{,}5} = 1\) et \(B(1/2, 1) = 2\), d'où $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0{,}353553.$$ Pour la cumulée inférieure avec \(\nu = 2\) en \(x = 0\), la loi étant symétrique, on a \(P(0,2) = 0{,}5\) et \(Q(0,2) = 0{,}5\).
FAQ
Que se passe-t-il quand \(\nu\) augmente ? La loi de Student se rapproche de la loi normale centrée réduite \(N(0,1)\) ; par exemple, \(f(0,\nu)\) tend vers \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894\).
L'incrément peut-il être négatif ? Oui. Un pas négatif fait décroître x ; un pas nul répète la même valeur de x.
Pourquoi \(\nu\) doit-il être strictement positif ? Les facteurs \(\sqrt{\nu}\) et \(\Gamma(\nu/2)\) exigent \(\nu > 0\) ; les valeurs négatives ou nulles ne sont pas définies pour cette loi.
