Qu'est-ce que le calculateur de loi de Poisson ?
La loi de Poisson modélise le nombre d'événements survenant dans un intervalle de temps ou d'espace donné, à partir d'un taux moyen constant connu (la moyenne) et en supposant que les événements se produisent de façon indépendante. Ce calculateur tabule trois grandeurs sur une suite de valeurs de x : la densité de probabilité \(f(x;\lambda)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\).
Comment l'utiliser
Sélectionnez la série à mettre en évidence (densité de probabilité \(f\), cumulée inférieure \(P\) ou cumulée supérieure \(Q\)). Saisissez la moyenne \(\lambda\) (qui doit être \(\ge 0\)), la valeur initiale de x, le pas (incrément) et le nombre de lignes à générer. Le calculateur produit la suite $$x = x_{\text{initial}},\ x_{\text{initial}}+\text{pas},\ x_{\text{initial}}+2\cdot\text{pas},\ \ldots$$ et affiche \(f\), \(P\) et \(Q\) pour chaque valeur, en surlignant la colonne choisie.
La formule expliquée
La fonction de masse (densité de probabilité) s'écrit $$f(x;\lambda) = \frac{\lambda^{\,x}\,e^{-\lambda}}{x!}.$$ La fonction de répartition inférieure additionne toutes les masses jusqu'à x : $$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} f(t;\lambda).$$ La probabilité cumulée supérieure inclut le terme en x lui-même : $$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda),$$ si bien que \(P\) et \(Q\) se chevauchent au niveau de \(f(x)\). Pour garantir la stabilité numérique, nous calculons \(f\) à l'aide des logarithmes de factorielles : $$f = \exp(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!)).$$
Exemple détaillé
Avec \(\lambda = 5\) et \(x = 0\) : \(e^{-5} = 0{,}006737947\), donc \(f(0) = 0{,}006737947\), \(P(0) = 0{,}006737947\) et $$Q(0) = 1 - 0{,}006737947 + 0{,}006737947 = 1.$$ Pour \(x = 5\), on obtient \(f(5) = 0{,}175467\), \(P(5) = 0{,}615961\) et \(Q(5) = 0{,}559507\) — ce qui signifie qu'environ 61,6 % de la masse de probabilité se concentre sur \(X \le 5\).
FAQ
Pourquoi la somme P + Q dépasse-t-elle 1 ? Parce que la cumulée inférieure \(P(X \le x)\) et la cumulée supérieure \(Q(X \ge x)\) incluent toutes deux la masse ponctuelle \(f(x)\) ; leur somme vaut donc \(1 + f(x)\).
Que se passe-t-il lorsque \(\lambda = 0\) ? Toute la masse est concentrée en \(x = 0\) : \(f(0) = 1\), \(f(x) = 0\) pour \(x > 0\), et \(P(x) = 1\) pour tout \(x \ge 0\).
\(\lambda\) peut-il être un nombre non entier ? Oui — \(\lambda\) est un taux et peut prendre n'importe quelle valeur \(\ge 0\) ; en revanche, les valeurs de x sont des entiers positifs ou nuls.
