Qu'est-ce que la loi de Weibull ?
La loi de Weibull compte parmi les lois de probabilité continues les plus polyvalentes et constitue un pilier de l'ingénierie de la fiabilité, de l'analyse des durées de vie et de la modélisation de la survie. En ajustant deux paramètres — un paramètre de forme m (aussi noté k ou bêta) et un paramètre d'échelle eta (aussi noté lambda ou a, la vie caractéristique) — elle peut représenter des taux de défaillance qui décroissent, restent constants ou augmentent avec le temps. Ce calculateur utilise la forme standard à 2 paramètres (avec échelle), le paramètre de position étant fixé à zéro : son support est donc \(x \ge 0\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la valeur x à laquelle vous souhaitez évaluer la loi (\(x \ge 0\)), le paramètre de forme m (\(> 0\)) et le paramètre d'échelle eta (\(> 0\)). L'outil renvoie trois résultats : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\) (la fonction de répartition), et la probabilité cumulée supérieure \(P(X > x)\) (la fonction de survie ou de fiabilité). À noter que \(F(x) + R(x)\) vaut toujours 1.
Les formules expliquées
Posons \(z = x / \eta\). La densité s'écrit $$f(x) = \frac{m}{\eta} \cdot z^{m-1} \cdot e^{-z^{m}}.$$ La fonction de répartition est $$F(x) = 1 - e^{-z^{m}},$$ et la fonction de survie $$R(x) = e^{-z^{m}}.$$ Le paramètre de forme régit le comportement du taux de défaillance : \(m = 1\) ramène à la loi exponentielle (taux de défaillance constant, moyenne \(\eta\)), \(m = 2\) donne la loi de Rayleigh, et \(m\) proche de 3,6 approche une courbe normale en cloche.
Exemple résolu
Prenons \(x = 1{,}5\), \(m = 2\), \(\eta = 1\). Alors \(z = 1{,}5\) et \(z^m = 2{,}25\), d'où \(e^{-2{,}25} = 0{,}105399\). La probabilité cumulée supérieure vaut $$R = 0{,}105399$$ et la probabilité cumulée inférieure $$F = 1 - 0{,}105399 = 0{,}894601.$$ La densité est $$f = \frac{2}{1} \cdot 1{,}5^{1} \cdot 0{,}105399 = 0{,}316198.$$
Questions fréquentes
Pourquoi \(F(\eta)\) vaut-il environ 0,632 quelle que soit la forme ? Lorsque \(x = \eta\), on a \(z = 1\) donc \(z^m = 1\) et \(F = 1 - e^{-1} = 0{,}6321\), indépendamment de \(m\). C'est pour cette raison qu'\(\eta\) est appelé la vie caractéristique.
Que se passe-t-il pour \(x < 0\) ? La loi de Weibull à 2 paramètres a pour support \([0, +\infty)\) ; on a donc \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) et \(R(x) = 1\) dans ce cas.
L'échelle doit-elle avoir une unité ? Les entrées sont de simples nombres : \(x\) et \(\eta\) doivent partager la même unité (par exemple des heures), mais le calcul lui-même est sans dimension.
