À quoi sert ce calculateur
Cet outil renvoie le percentile, également appelé quantile, d'une loi uniforme continue définie sur un intervalle allant d'une borne inférieure a à une borne supérieure b. À partir de la probabilité cumulée que vous saisissez, il détermine la valeur x de l'intervalle pour laquelle cette probabilité est atteinte. Comme la loi uniforme répartit la probabilité de manière homogène sur [a, b], le résultat se ramène à une simple interpolation linéaire, parfaitement exacte.
Mode d'emploi
Choisissez d'abord le mode de probabilité cumulée. Sélectionnez Cumulée à gauche P si votre probabilité correspond à \(P(X \le x)\) (l'aire située à gauche). Sélectionnez Cumulée à droite Q si elle correspond à \(P(X \ge x)\) (l'aire située à droite). Indiquez ensuite la probabilité sous forme d'un nombre compris entre 0 et 1, puis saisissez la borne inférieure a et la borne supérieure b, avec \(a \le b\). Le calculateur affiche alors le percentile x ainsi que la probabilité à gauche p effectivement utilisée dans les calculs.
La formule expliquée
Pour une variable uniforme continue sur [a, b], la fonction de répartition s'écrit \(F(x) = (x - a) / (b - a)\). En l'inversant, on obtient le quantile :
$$x = \text{a} + \text{p} \cdot \left(\text{b} - \text{a}\right)$$où p désigne la probabilité à gauche. En mode « à gauche », p est égal directement à votre P. En mode « à droite », comme \(Q = 1 - F(x)\), l'équivalent à gauche vaut \(p = 1 - Q\). Le résultat est toujours compris entre a et b : \(p = 0\) donne \(x = a\) et \(p = 1\) donne \(x = b\). Si a est égal à b, la loi est dégénérée et \(x = a\) pour toute probabilité valide.
Exemple détaillé
Mode « à gauche », \(P = 0{,}2\), \(a = 1\), \(b = 4\). On a alors \(p = 0{,}2\) et
$$x = 1 + 0{,}2 \cdot \left(4 - 1\right) = 1 + 0{,}6 = 1{,}6$$En passant en mode « à droite » avec \(Q = 0{,}2\), on obtient \(p = 0{,}8\) et \(x = 1 + 0{,}8 \cdot 3 = 3{,}4\) ; vérification : \(P(X \ge 3{,}4) = (4 - 3{,}4)/3 = 0{,}2\), ce qui est bien le résultat attendu.
FAQ
Quelle est la différence entre P et Q ? P est l'aire située à gauche de x (la probabilité d'être inférieur ou égal à x) ; Q est l'aire située à droite (la probabilité d'être supérieur ou égal à x). Leur somme vaut 1.
Et si ma probabilité sort de l'intervalle 0 à 1 ? Les probabilités doivent appartenir à [0, 1] ; toute valeur en dehors de cet intervalle est ramenée à la borne la plus proche avant le calcul.
Cela fonctionne-t-il pour la loi uniforme discrète ? Non. Ce calculateur modélise la loi uniforme continue ; dans le cas discret, les quantiles progressent par paliers entre des valeurs entières.
