À quoi sert la calculatrice de loi uniforme ?
La loi uniforme continue décrit une variable aléatoire qui a la même probabilité de prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle [a, b]. Cette calculatrice évalue trois fonctions liées sur cet intervalle : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(x)\) (la fonction de répartition) et la probabilité cumulée supérieure \(Q(x)\) (la fonction de survie). Elle génère aussi un tableau de valeurs sur une série de points \(x\), ce qui permet de tracer la fonction choisie.
Comment l'utiliser
Choisissez la fonction à calculer (densité \(f\), cumul inférieur \(P\) ou cumul supérieur \(Q\)). Saisissez les bornes \(a\) et \(b\) de l'intervalle (avec \(a < b\)). Définissez ensuite le balayage : la valeur initiale de \(x\), le pas (l'incrément ajouté à chaque itération) et le nombre de répétitions (le nombre de points \(x\) à générer). La case de résultat affiche la valeur de la fonction au milieu de [a, b], et le tableau dresse la liste de chaque couple (x, valeur) sur tout le balayage.
La formule expliquée
Notons la largeur \(w = b - a\). La densité est constante à l'intérieur du support :
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$pour \(a \le x \le b\), et 0 en dehors. La probabilité cumulée inférieure accumule l'aire à partir de \(a\) :
$$P(x) = \begin{cases} 0, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{x - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 1, & x > \text{b} \end{cases}$$bornée à 0 en dessous de \(a\) et à 1 au-dessus de \(b\). La probabilité cumulée supérieure en est le complément :
$$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{b} - x}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & x > \text{b} \end{cases}$$bornée à 1 en dessous de \(a\) et à 0 au-dessus de \(b\). Comme elles couvrent toute la densité, on a partout \(P(x) + Q(x) = 1\). La calculatrice se prémunit contre le cas dégénéré où \(a = b\) (largeur nulle), qui entraînerait une division par zéro.
Exemple concret
Avec \(a = 2\) et \(b = 8\), la largeur vaut \(w = 6\). En \(x = 5\) (le milieu) :
$$f(5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}16667$$$$P(5) = \frac{5 - 2}{6} = 0{,}5$$$$Q(5) = \frac{8 - 5}{6} = 0{,}5$$ce qui confirme bien \(P + Q = 1\). En \(x = 0\) (en dessous de \(a\)), la densité est nulle, \(P = 0\) et \(Q = 1\). En \(x = 8\) (la borne supérieure), \(P = 1\) et \(Q = 0\).
FAQ
Pourquoi la densité dépasse-t-elle parfois 1 ? La densité n'est pas une probabilité : c'est une probabilité par unité de longueur. Pour un intervalle étroit, \(\frac{1}{b - a}\) peut dépasser 1 alors que l'aire totale sous la courbe reste égale à 1.
Que se passe-t-il si a est égal à b ? La largeur est nulle, la densité devient indéfinie (infinie) et les fonctions cumulées se réduisent à un saut. La calculatrice signale alors une saisie invalide.
Le pas peut-il être négatif ? Oui. Un incrément négatif produit un balayage décroissant ; les formules restent correctement bornées en dehors de [a, b].
