ما هي حاسبة التوزيع المنتظم؟
يصف التوزيع المنتظم المتصل متغيرًا عشوائيًا تتساوى فرصته في أخذ أي قيمة داخل مجال محدد [a, b]. تحسب هذه الأداة ثلاث دوال مترابطة على هذا المجال: كثافة الاحتمال \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(x)\) (دالة التوزيع التراكمي CDF)، والاحتمال التراكمي العلوي \(Q(x)\) (دالة البقاء). كما تُنشئ جدولًا بالقيم عبر مسح لمجموعة من نقاط \(x\) حتى تتمكن من رسم الدالة التي اخترتها.
كيفية الاستخدام
اختر الدالة التي تريد حسابها (الكثافة \(f\)، أو الاحتمال التراكمي السفلي \(P\)، أو الاحتمال التراكمي العلوي \(Q\)). أدخل حدّي المجال \(a\) و \(b\) (بحيث يكون \(a < b\)). ثم اضبط إعدادات المسح: القيمة الابتدائية لـ \(x\)، ومقدار الزيادة (الخطوة) المضافة في كل تكرار، وعدد التكرارات (أي كم نقطة \(x\) سيتم توليدها). يعرض صندوق النتيجة قيمة الدالة عند منتصف المجال [a, b]، ويسرد الجدول كل زوج (x، القيمة) عبر المسح كاملًا.
شرح المعادلة
لنفترض أن العرض هو \(w = b - a\). تكون الكثافة ثابتة داخل النطاق:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$أي \(f(x) = 1/w\) عندما يكون \(a \le x \le b\)، وتساوي 0 خارجه. يتراكم الاحتمال التراكمي السفلي المساحة بدءًا من \(a\):
$$P(x) = \begin{cases} 0, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{x - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 1, & x > \text{b} \end{cases}$$أي \(P(x) = (x - a)/w\)، ويُقيَّد إلى 0 تحت \(a\) وإلى 1 فوق \(b\). أما الاحتمال التراكمي العلوي فهو المتمم:
$$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{b} - x}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & x > \text{b} \end{cases}$$أي \(Q(x) = (b - x)/w\)، ويُقيَّد إلى 1 تحت \(a\) وإلى 0 فوق \(b\). ولأنهما يغطيان الكثافة كاملةً، فإن \(P(x) + Q(x) = 1\) في كل مكان. تحتاط الحاسبة من الحالة الشاذة حين يكون \(a = b\) (عرض صفري)، إذ تؤدي إلى القسمة على صفر.
مثال محلول
عندما يكون \(a = 2\) و \(b = 8\) يصبح العرض \(w = 6\). عند \(x = 5\) (نقطة المنتصف):
$$f(5) = \frac{1}{6} \approx 0.16667$$$$P(5) = \frac{5 - 2}{6} = 0.5$$$$Q(5) = \frac{8 - 5}{6} = 0.5$$مما يؤكد أن \(P + Q = 1\). عند \(x = 0\) (تحت \(a\)) تكون الكثافة 0 و \(P = 0\) و \(Q = 1\). وعند \(x = 8\) (الحد الأعلى) يكون \(P = 1\) و \(Q = 0\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون الكثافة أكبر من 1؟ الكثافة ليست احتمالًا؛ بل هي احتمال لكل وحدة طول. ففي مجال ضيق قد تتجاوز قيمة \(1/(b - a)\) الواحد، بينما تظل المساحة الكلية تحت المنحنى مساوية لـ 1.
ماذا لو كان a يساوي b؟ يصبح العرض صفرًا، فتكون الكثافة غير معرّفة (لانهائية) وتتحول الدوال التراكمية إلى دالة درجية. تنبّه الحاسبة إلى أن هذا إدخال غير صالح.
هل يمكن أن تكون الخطوة سالبة؟ نعم. تؤدي الزيادة السالبة إلى مسح تنازلي؛ وتبقى المعادلات تُقيَّد بشكل صحيح خارج المجال [a, b].
