समान वितरण कैलकुलेटर क्या है?
सतत समान वितरण (continuous uniform distribution) एक ऐसे यादृच्छिक चर को दर्शाता है जिसके किसी अंतराल [a, b] के भीतर किसी भी मान को लेने की संभावना बराबर होती है। यह कैलकुलेटर उसी अंतराल पर तीन परस्पर जुड़े फलनों की गणना करता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(x)\) (यानी CDF), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q(x)\) (सर्वाइवल फंक्शन)। साथ ही यह \(x\) के कई बिंदुओं पर मानों की एक तालिका भी बनाता है, ताकि आप चुने हुए फलन का ग्राफ़ आसानी से बना सकें।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले तय करें कि किस फलन की गणना करनी है (घनत्व \(f\), निचला संचयी \(P\), या ऊपरी संचयी \(Q\))। फिर अंतराल की सीमाएँ \(a\) और \(b\) दर्ज करें (ध्यान रहे कि \(a < b\) हो)। इसके बाद स्वीप सेट करें: \(x\) का प्रारंभिक मान, हर चरण में जोड़ा जाने वाला अंतराल (स्टेप), और दोहरावों की संख्या (कितने \(x\) बिंदु बनाने हैं)। परिणाम बॉक्स में [a, b] के मध्यबिंदु पर फलन का मान दिखता है, और तालिका में पूरे स्वीप के हर (x, मान) जोड़े की सूची होती है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए चौड़ाई \(w = b - a\) है। समर्थन क्षेत्र के भीतर घनत्व स्थिर रहता है: \(a \le x \le b\) के लिए \(f(x) = 1/w\), और बाहर 0।
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$निचली संचयी प्रायिकता \(a\) से शुरू होकर क्षेत्रफल जोड़ती जाती है: \(P(x) = (x - a)/w\), जिसे \(a\) से नीचे 0 और \(b\) से ऊपर 1 पर सीमित (क्लैम्प) कर दिया जाता है।
$$P(x) = \begin{cases} 0, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{x - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 1, & x > \text{b} \end{cases}$$ऊपरी संचयी प्रायिकता इसकी पूरक है, \(Q(x) = (b - x)/w\), जिसे \(a\) से नीचे 1 और \(b\) से ऊपर 0 पर सीमित किया जाता है।
$$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{b} - x}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & x > \text{b} \end{cases}$$चूँकि ये दोनों मिलकर पूरे घनत्व को ढँकते हैं, इसलिए हर जगह \(P(x) + Q(x) = 1\) होता है। कैलकुलेटर उस विशेष स्थिति से बचाव करता है जहाँ \(a = b\) हो (शून्य चौड़ाई), क्योंकि तब शून्य से भाग देना पड़ जाता।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 2\) और \(b = 8\) है, तो चौड़ाई \(w = 6\) होगी। \(x = 5\) (मध्यबिंदु) पर: $$f(5) = 1/6 \approx 0.16667$$ $$P(5) = (5 - 2)/6 = 0.5$$ $$Q(5) = (8 - 5)/6 = 0.5$$ — जो पुष्टि करता है कि \(P + Q = 1\)। \(x = 0\) पर (\(a\) से नीचे) घनत्व 0 होगा, \(P = 0\) और \(Q = 1\)। \(x = 8\) पर (ऊपरी किनारा) \(P = 1\) और \(Q = 0\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
घनत्व 1 से ज़्यादा क्यों हो सकता है? घनत्व कोई प्रायिकता नहीं है; यह प्रति इकाई लंबाई की प्रायिकता है। किसी संकरे अंतराल के लिए \(1/(b - a)\) का मान 1 से अधिक हो सकता है, फिर भी वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 ही रहता है।
अगर a और b बराबर हों तो? तब चौड़ाई शून्य हो जाती है, इसलिए घनत्व अपरिभाषित (अनंत) हो जाता है और संचयी फलन एक सीढ़ी (स्टेप) बन जाते हैं। ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर इसे अमान्य इनपुट बताता है।
क्या स्टेप ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक अंतराल से स्वीप घटते क्रम में बनता है; फिर भी [a, b] के बाहर सूत्र सही ढंग से क्लैम्प करते रहते हैं।
