यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी सतत समान वितरण (continuous uniform distribution) का परसेंटाइल, जिसे क्वांटाइल भी कहते हैं, निकालता है। यह वितरण एक निचली सीमा a से ऊपरी सीमा b तक के अंतराल पर परिभाषित होता है। आप जो संचयी प्रायिकता देते हैं, उसके आधार पर यह वह मान x ढूँढता है जहाँ वह प्रायिकता पूरी होती है। चूँकि समान वितरण में प्रायिकता पूरे [a, b] पर बराबर-बराबर फैली होती है, इसलिए उत्तर एक सरल और सटीक रैखिक अंतर्वेशन (linear interpolation) से ही मिल जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले संचयी मोड चुनें। यदि आपकी प्रायिकता का अर्थ P(X ≤ x) है (यानी x के बाईं ओर का क्षेत्रफल), तो निचली संचयी P चुनें। यदि इसका अर्थ P(X ≥ x) है (यानी दाईं ओर का क्षेत्रफल), तो ऊपरी संचयी Q चुनें। प्रायिकता को 0 और 1 के बीच की संख्या के रूप में दर्ज करें, फिर निचली सीमा a और ऊपरी सीमा b डालें, जहाँ a ≤ b हो। कैलकुलेटर परसेंटाइल x के साथ-साथ वह प्रभावी निचली-पुच्छ प्रायिकता p भी दिखाता है जिसका उपयोग उसने आंतरिक रूप से किया।
सूत्र की व्याख्या
[a, b] पर किसी सतत समान चर के लिए संचयी वितरण फलन (CDF) होता है \( F(x) = (x - a) / (b - a) \)। इसे उलटने पर क्वांटाइल मिलता है: $$x = a + p \cdot (b - a)$$ जहाँ \(p\) निचली-पुच्छ प्रायिकता है। निचले मोड में \(p\) सीधे आपके \(P\) के बराबर होता है। ऊपरी मोड में, चूँकि \(Q = 1 - F(x)\) होता है, इसलिए इसका निचली-पुच्छ समकक्ष \(p = 1 - Q\) होगा। परिणाम हमेशा a और b के बीच रहता है: \(p = 0\) पर \(x = a\) और \(p = 1\) पर \(x = b\)। यदि a और b बराबर हों तो वितरण अपकर्षित (degenerate) हो जाता है और किसी भी मान्य प्रायिकता के लिए \(x = a\) ही रहता है।
हल किया गया उदाहरण
निचला मोड, P = 0.2, a = 1, b = 4। तब \(p = 0.2\) और $$x = 1 + 0.2 \cdot (4 - 1) = 1 + 0.6 = 1.6$$ अब Q = 0.2 के साथ ऊपरी मोड पर जाएँ तो \(p = 0.8\) और \(x = 1 + 0.8 \cdot 3 = 3.4\) मिलता है; जाँच करें तो \(P(X \ge 3.4) = (4 - 3.4)/3 = 0.2\), जो अपेक्षा के अनुरूप है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
P और Q में क्या अंतर है? P, x के बाईं ओर का क्षेत्रफल है (x या उससे कम होने की प्रायिकता); Q, दाईं ओर का क्षेत्रफल है (x या उससे अधिक होने की प्रायिकता)। इन दोनों का योग 1 होता है।
यदि मेरी प्रायिकता 0 से 1 के बाहर हो तो? प्रायिकता हमेशा [0, 1] के भीतर होनी चाहिए; इस सीमा के बाहर के मानों को गणना से पहले निकटतम सीमा पर समायोजित (clamp) कर दिया जाता है।
क्या यह असतत (discrete) समान वितरण के लिए काम करता है? नहीं। यह कैलकुलेटर सतत समान वितरण के लिए बना है; असतत स्थिति में क्वांटाइल पूर्णांक मानों के बीच चरणबद्ध रूप से बदलते हैं।
