यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल लॉगनॉर्मल वितरण के पर्सेंटाइल बिंदु (क्वांटाइल) की गणना करता है। किसी दी गई संचयी प्रायिकता और वितरण के पैरामीटर के आधार पर, यह वह मान x लौटाता है जिस पर लॉगनॉर्मल संचयी वितरण फलन (CDF) उस प्रायिकता तक पहुँचता है। यही इन्वर्स CDF है, जिसे क्वांटाइल फलन भी कहा जाता है। लॉगनॉर्मल वितरण का व्यापक उपयोग ऐसी मात्राओं के लिए होता है जो धनात्मक और दाईं ओर झुकी (right-skewed) होती हैं — जैसे आय, कणों का आकार, शेयर की कीमतें, उपकरणों की विश्वसनीयता-आयु और जैविक सांद्रता। यह एक सार्वभौमिक गणितीय टूल है और हर जगह एक समान लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले तय करें कि आपकी प्रायिकता निचली-पुच्छ (lower-tail) वाली \( \text{P}(X \le x) \) है या ऊपरी-पुच्छ (upper-tail) वाली \( \text{P}(X > x) \)। फिर प्रायिकता दर्ज करें (जो ठीक 0 और 1 के बीच हो)। इसके बाद \( \ln(X) \) के अंतर्निहित नॉर्मल वितरण के दो पैरामीटर भरें: स्थान पैरामीटर \( \mu \) (अर्थात \( \ln X \) का माध्य) और स्केल पैरामीटर \( \sigma \) (अर्थात \( \ln X \) का मानक विचलन, जो धनात्मक होना चाहिए)। पर्सेंटाइल बिंदु x पाने के लिए गणना करें पर क्लिक करें।
सूत्र की व्याख्या
कोई चर X तब लॉगनॉर्मल कहलाता है जब \( \ln(X) \) माध्य \( \mu \) और मानक विचलन \( \sigma \) वाले नॉर्मल वितरण का पालन करता है। इसका निचला CDF है
$$ \text{P}(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right) $$जहाँ \( \Phi \) मानक नॉर्मल CDF है। इसे उलटने पर मिलता है
$$ x = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right) $$यदि आप ऊपरी-पुच्छ प्रायिकता Q देते हैं, तो हम पहले इसे \( p = 1 - \text{Q} \) में बदल देते हैं। मानक नॉर्मल क्वांटाइल \( \Phi^{-1} \) की गणना Acklam के परिमेय सन्निकटन (rational approximation) से की जाती है, जो लगभग 1e-9 तक सटीक है। ध्यान दें कि \( \mu \) और \( \sigma \) \( \ln X \) का वर्णन करते हैं, न कि स्वयं X का; X का माध्य \( \exp(\mu + \sigma^{2}/2) \) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें कि निचला मोड, प्रायिकता = 0.975, \( \mu = 0 \), \( \sigma = 1 \)। तब \( p = 0.975 \) और \( \Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \) (वही प्रसिद्ध 1.96 क्रांतिक मान)। अतः
$$ x = \exp(0 + 1 \times 1.959964) = 7.0994 $$मानक लॉगनॉर्मल का 97.5वाँ पर्सेंटाइल लगभग 7.099 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि मैं ऊपरी मोड चुनूँ तो क्या होगा? ऊपरी मोड में \( \text{Q} = 0.025 \) दर्ज करने पर \( p = 1 - 0.025 = 0.975 \) बनता है और वही \( x \approx 7.099 \) मिलता है जो ऊपर के उदाहरण में था।
माध्यिका (median) क्या होती है? \( p = 0.5 \) के लिए \( \Phi^{-1}(0.5) = 0 \) होता है, इसलिए \( x = \exp(\mu) \)। लॉगनॉर्मल वितरण की माध्यिका \( \sigma \) के मान से स्वतंत्र होकर हमेशा \( \exp(\mu) \) ही रहती है।
\( 0 < p < 1 \) क्यों होना ज़रूरी है? जैसे-जैसे p शून्य की ओर जाता है, पर्सेंटाइल भी 0 की ओर बढ़ता है, और जैसे-जैसे p एक की ओर जाता है, यह अनंत की ओर चला जाता है; इसीलिए अंतिम बिंदु (0 और 1) स्वीकार नहीं किए जाते। परिणाम हमेशा धनात्मक होता है क्योंकि यह एक चरघातांकी (exponential) मान है।
