लाप्लास वितरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x (यादृच्छिक चर का मान)

स्थान मान mu

Scale parameter b (> 0)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Cumulative Distribution Function (CDF)

   

   Lower cumulative probability P(X <= x); the form is split at x < mu and x >= mu

परिणाम

प्रायिकता घनत्व f(x)

0.18394

लाप्लास (डबल-एक्सपोनेंशियल) वितरण

Lower cumulative P(X ≤ x)	0.81606
Upper cumulative P(X > x)	0.18394

लाप्लास वितरण क्या है?

लाप्लास वितरण, जिसे डबल-एक्सपोनेंशियल वितरण भी कहा जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है जो अपने केंद्र के बारे में सममित (symmetric) होता है। इसे देखकर ऐसा लगता है मानो दो एक्सपोनेंशियल वितरण आमने-सामने जोड़ दिए गए हों — इसी से स्थान मान (location) पर एक तीखी नोक (cusp) बनती है और इसकी पूँछें (tails) सामान्य वितरण की तुलना में भारी होती हैं। इसका व्यापक उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग, मज़बूत रिग्रेशन (least absolute deviations), बेज़ियन इन्फरेंस (LASSO प्रायर) और वित्त में फैट-टेल रिटर्न के मॉडलिंग के लिए होता है। यह एक सार्वभौमिक गणितीय उपकरण है जो हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।

लाप्लास PDF: स्थान mu पर एक तीखा शिखर और सममित घातांकीय पुच्छ।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तीन संख्याएँ दर्ज करें: x, यानी यादृच्छिक चर (random variable) का मान; स्थान मान mu, जो केंद्र (माध्य और माध्यिका) तय करता है; और स्केल मान b, जो पूर्णतः धनात्मक होना चाहिए और फैलाव को नियंत्रित करता है। कैलकुलेटर प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(X \leq x)\) और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(P(X > x)\) देता है। दोनों संचयी मानों का योग हमेशा ठीक 1 होता है।

सूत्र की व्याख्या

घनत्व इस प्रकार है:

$$f(x) = \frac{1}{2\,b}\exp\!\left(-\frac{\left|x - \mu\right|}{b}\right)$$

संचयी फलन खंडशः (piecewise) होता है: जब \(x < \mu\), तब \(F(x) = 0.5\cdot\exp((x - \mu)/b)\); और जब \(x \geq \mu\), तब \(F(x) = 1 - 0.5\cdot\exp(-(x - \mu)/b)\)।

$$F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\!\left(\dfrac{x - \mu}{b}\right) & \text{if } x < \mu \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\exp\!\left(-\dfrac{x - \mu}{b}\right) & \text{if } x \geq \mu \end{cases}$$

निरपेक्ष विचलन (absolute deviation) का उपयोग करने से घातांक हमेशा गैर-धनात्मक रहता है, इसलिए \(\exp()\) कभी ओवरफ़्लो नहीं करता। माध्य \(\mu\) के बराबर होता है और प्रसरण (variance) \(2b^2\) के बराबर होता है।

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निचला CDF P(X≤x), वक्र के नीचे x के बाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(x = 1\), \(\mu = 0\), \(b = 1\)। विचलन \(d = 1\) है। PDF:

$$f(1) = 0.5\cdot\exp(-1) = 0.18394$$

चूँकि \(x \geq \mu\) है, इसलिए \(F(1) = 1 - 0.5\cdot\exp(-1) = 0.81606\), और ऊपरी प्रायिकता \(1 - 0.81606 = 0.18394\) होगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

b का धनात्मक होना ज़रूरी क्यों है? स्केल \(b\) हर (denominator) में और एक्सपोनेंशियल के अंदर दोनों जगह आता है; यदि \(b \leq 0\) हो तो घनत्व अपरिभाषित हो जाता है, इसलिए कैलकुलेटर इसकी जाँच करता है।

x = mu पर क्या होता है? इस बिंदु पर घनत्व अपने उच्चतम मान \(1/(2b)\) तक पहुँचता है और दोनों संचयी प्रायिकताएँ 0.5 के बराबर होती हैं। यहाँ फलन में एक अनवकलनीय (non-differentiable) नोक (cusp) बनती है।

क्या यह वितरण सममित है? हाँ। किसी भी \(t\) के लिए \(f(\mu + t) = f(\mu - t)\) और \(F(\mu + t) = 1 - F(\mu - t)\) होता है।