什麼是拉普拉斯分布？
拉普拉斯分布又稱「雙指數分布」，是一種以中心點對稱的連續機率分布。它的形狀就像把兩個指數分布背靠背接在一起，在位置參數處形成一個尖銳的峰（尖點），且尾部比常態分布更厚（重尾）。拉普拉斯分布廣泛應用於訊號處理、穩健迴歸（最小絕對偏差法）、貝氏推論（LASSO 先驗分布），以及金融領域中用來描述具有厚尾特性的報酬率。這是一項通用的數學工具，無論在世界各地計算結果都完全一致。
如何使用這個計算器
請輸入三個數值：x，即隨機變數的取值；位置參數 \(\mu\)，用來設定分布的中心（同時也是平均數與中位數）；以及尺度參數 \(b\)，它必須為嚴格正數，用來控制分布的離散程度。計算器會回傳機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P(X \leq x)\) 與上累積機率 \(P(X > x)\)。這兩個累積機率值相加必定恰好等於 1。
公式說明
機率密度函數為 $$f(x) = \frac{1}{2\,b}\exp\!\left(-\frac{\left|x - \mu\right|}{b}\right)$$ 累積分布函數則是分段定義的：當 \(x < \mu\) 時，\(F(x) = 0.5\cdot\exp\!\left(\frac{x - \mu}{b}\right)\)；當 \(x \geq \mu\) 時，\(F(x) = 1 - 0.5\cdot\exp\!\left(-\frac{x - \mu}{b}\right)\)。$$F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\!\left(\dfrac{x - \mu}{b}\right) & \text{if } x < \mu \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\exp\!\left(-\dfrac{x - \mu}{b}\right) & \text{if } x \geq \mu \end{cases}$$ 使用絕對偏差可確保指數恆為非正數，因此 \(\exp()\) 永遠不會溢位。平均數等於 \(\mu\)，變異數等於 \(2b^2\)。
實例演算
設 \(x = 1\)、\(\mu = 0\)、\(b = 1\)，則偏差 \(d = 1\)。機率密度：$$f(1) = 0.5\cdot\exp(-1) = 0.18394$$ 由於 \(x \geq \mu\)，故 \(F(1) = 1 - 0.5\cdot\exp(-1) = 0.81606\)，而上累積機率為 \(1 - 0.81606 = 0.18394\)。
常見問題
為什麼 b 必須為正數？尺度參數同時出現在分母與指數中；若 \(b \leq 0\)，機率密度將無法定義，因此計算器會對此進行驗證。
當 x = μ 時會發生什麼？此時機率密度達到最大值 \(\frac{1}{2b}\)，且兩個累積機率皆等於 0.5。函數在此點存在一個不可微分的尖點。
這個分布是對稱的嗎？是的。對於任意 \(t\)，皆滿足 \(f(\mu + t) = f(\mu - t)\) 以及 \(F(\mu + t) = 1 - F(\mu - t)\)。
