Что такое распределение Лапласа?
Распределение Лапласа, известное также как двойное экспоненциальное распределение, — это непрерывное распределение вероятностей, симметричное относительно своего центра. По форме оно напоминает два экспоненциальных распределения, сложенных «спина к спине»: в точке параметра сдвига образуется острый пик (излом), а «хвосты» оказываются тяжелее, чем у нормального распределения. Его широко применяют в обработке сигналов, устойчивой регрессии (метод наименьших модулей), байесовском выводе (априорное распределение в LASSO), а также в финансах для моделирования доходностей с «толстыми хвостами». Это универсальный математический инструмент, который одинаково работает в любой стране.
Как пользоваться калькулятором
Введите три числа: x — значение случайной величины; параметр сдвига mu, который задаёт центр распределения (среднее и медиану); и параметр масштаба b — он должен быть строго положительным и отвечает за разброс. Калькулятор выдаёт плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю функцию распределения \(P(X \leq x)\) и верхнюю вероятность \(P(X > x)\). Сумма двух последних значений всегда в точности равна 1.
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением $$f(x) = \frac{1}{2\,b}\exp\!\left(-\frac{\left|x - \mu\right|}{b}\right)$$ Функция распределения определяется кусочно: при \(x < \mu\) имеем \(F(x) = 0{,}5\cdot\exp\!\left(\frac{x - \mu}{b}\right)\); при \(x \geq \mu\) имеем \(F(x) = 1 - 0{,}5\cdot\exp\!\left(-\frac{x - \mu}{b}\right)\). Использование абсолютного отклонения гарантирует, что показатель степени остаётся неположительным, поэтому функция \(\exp()\) никогда не «переполняется». Среднее значение равно \(\mu\), а дисперсия — \(2b^2\).
Пример расчёта
Пусть \(x = 1\), \(\mu = 0\), \(b = 1\). Отклонение равно \(d = 1\). Плотность: $$f(1) = 0{,}5\cdot\exp(-1) = 0{,}18394$$ Поскольку \(x \geq \mu\), получаем \(F(1) = 1 - 0{,}5\cdot\exp(-1) = 0{,}81606\), а верхняя вероятность составляет \(1 - 0{,}81606 = 0{,}18394\).
Частые вопросы
Почему b должно быть положительным? Параметр масштаба стоит в знаменателе и внутри экспоненты; при \(b \leq 0\) плотность не определена, поэтому калькулятор проверяет это значение.
Что происходит при x = mu? Плотность достигает своего максимума \(\frac{1}{2b}\), а обе функции распределения равны 0,5. В этой точке функция имеет излом и не дифференцируема.
Симметрично ли это распределение? Да. Для любого \(t\) выполняется \(f(\mu + t) = f(\mu - t)\) и \(F(\mu + t) = 1 - F(\mu - t)\).
